Номер 106, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 106, страница 21.

Условие.

106. Упростите выражение:

1) $\frac{a}{a - 1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1};$

2) $\frac{a + b}{\sqrt{ab} - b} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}};$

3) $\frac{\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x}} : \frac{x - 36}{4x};$

4) $\left(\frac{\sqrt{a} - 5}{\sqrt{a} + 5} + \frac{20\sqrt{a}}{a - 25}\right) : \frac{\sqrt{a} + 5}{a - 5\sqrt{a}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a}{a-1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$, приведем дроби к общему знаменателю.
Заметим, что знаменатель первой дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a-1 = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$.
Таким образом, общий знаменатель — это $a-1$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(\sqrt{a}-1)$:
$\frac{a}{a-1} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)} = \frac{a}{a-1} - \frac{a-\sqrt{a}}{a-1}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{a - (a-\sqrt{a})}{a-1} = \frac{a-a+\sqrt{a}}{a-1} = \frac{\sqrt{a}}{a-1}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{a-1}$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{a+b}{\sqrt{ab}-b} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$.
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $\sqrt{ab}-b = \sqrt{b}\sqrt{a} - \sqrt{b}\sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
Общий знаменатель — $\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$:
$\frac{a+b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{a+b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Числитель $a - 2\sqrt{ab} + b$ является формулой квадрата разности: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$.
Подставим это в выражение:
$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$.

3) Упростим выражение $\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}} : \frac{x-36}{4x}$.
Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{x-36}$
Разложим знаменатель второй дроби $x-36$ по формуле разности квадратов: $x-36 = (\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)$.
Подставим полученное разложение в выражение:
$\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)}$
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{x}-6)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{\sqrt{x}+6} = \frac{4x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+6)}$
Поскольку $x = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$, мы можем сократить дробь на $\sqrt{x}$:
$\frac{4\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+6)} = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}$
Ответ: $\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}$.

4) Упростим выражение $(\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}+5} + \frac{20\sqrt{a}}{a-25}) : \frac{\sqrt{a}+5}{a-5\sqrt{a}}$.
Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатель $a-25$ на множители по формуле разности квадратов: $a-25 = (\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)$.
$\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}+5} + \frac{20\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)}$
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(\sqrt{a}-5)$:
$\frac{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}-5)}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)} + \frac{20\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} = \frac{(\sqrt{a}-5)^2 + 20\sqrt{a}}{a-25}$
Раскроем квадрат в числителе: $(\sqrt{a}-5)^2 = a - 10\sqrt{a} + 25$.
$\frac{a - 10\sqrt{a} + 25 + 20\sqrt{a}}{a-25} = \frac{a + 10\sqrt{a} + 25}{a-25}$
Числитель $a + 10\sqrt{a} + 25$ является формулой квадрата суммы: $(\sqrt{a}+5)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{(\sqrt{a}+5)^2}{a-25} = \frac{(\sqrt{a}+5)^2}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)} = \frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5}$.
Теперь выполним деление. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} : \frac{\sqrt{a}+5}{a-5\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{a-5\sqrt{a}}{\sqrt{a}+5}$
Вынесем $\sqrt{a}$ за скобки в числителе второй дроби: $a-5\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$.
$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}{\sqrt{a}+5}$
Сократим общие множители $(\sqrt{a}+5)$ и $(\sqrt{a}-5)$:
$\sqrt{a}$
Ответ: $\sqrt{a}$.