Номер 103, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 103, страница 20.

Условие.

103. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 11}{x + \sqrt{11}}$;

2) $\frac{\sqrt{x} - 12}{x - 144}$;

3) $\frac{a + 3\sqrt{a}}{a - 9}$;

4) $\frac{17 - \sqrt{17}}{\sqrt{17}}$;

5) $\frac{m - 12\sqrt{m} + 36}{m - 36}$;

6) $\frac{\sqrt{21} - 3}{7 - \sqrt{21}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 11}{x + \sqrt{11}}$, представим числитель в виде разности квадратов.
Число $11$ можно записать как $(\sqrt{11})^2$. Тогда числитель примет вид $x^2 - (\sqrt{11})^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - (\sqrt{11})^2 = (x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})$.
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{11})(x + \sqrt{11})}{x + \sqrt{11}}$
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(x + \sqrt{11})$, при условии, что $x + \sqrt{11} \ne 0$.
$\frac{(x - \sqrt{11})\cancel{(x + \sqrt{11})}}{\cancel{x + \sqrt{11}}} = x - \sqrt{11}$
Ответ: $x - \sqrt{11}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} - 12}{x - 144}$, представим знаменатель в виде разности квадратов.
Поскольку в числителе есть $\sqrt{x}$, область допустимых значений для $x$ - это $x \ge 0$. Это позволяет нам представить $x$ как $(\sqrt{x})^2$. Число $144$ - это $12^2$.
Знаменатель $x - 144 = (\sqrt{x})^2 - 12^2$. Применим формулу разности квадратов:
$(\sqrt{x})^2 - 12^2 = (\sqrt{x} - 12)(\sqrt{x} + 12)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} - 12)(\sqrt{x} + 12)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - 12)$, при условии, что $\sqrt{x} - 12 \ne 0$.
$\frac{\cancel{\sqrt{x} - 12}}{(\cancel{\sqrt{x} - 12})(\sqrt{x} + 12)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 12}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} + 12}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a + 3\sqrt{a}}{a - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $a + 3\sqrt{a}$ вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}$ (поскольку $a = (\sqrt{a})^2$ при $a \ge 0$):
$a + 3\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 + 3\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)$.
Знаменатель $a - 9$ представим как разность квадратов $(\sqrt{a})^2 - 3^2$:
$a - 9 = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + 3)$. Так как $\sqrt{a} \ge 0$, то $\sqrt{a} + 3 > 0$, поэтому сокращение всегда возможно.
$\frac{\sqrt{a}\cancel{(\sqrt{a} + 3)}}{(\sqrt{a} - 3)\cancel{(\sqrt{a} + 3)}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{17 - \sqrt{17}}{\sqrt{17}}$, вынесем в числителе общий множитель.
Представим число $17$ как $(\sqrt{17})^2$. Тогда числитель $17 - \sqrt{17} = (\sqrt{17})^2 - \sqrt{17}$.
Вынесем общий множитель $\sqrt{17}$ за скобки:
$\sqrt{17}(\sqrt{17} - 1)$.
Подставим это выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{17}(\sqrt{17} - 1)}{\sqrt{17}}$
Сократим дробь на $\sqrt{17}$:
$\frac{\cancel{\sqrt{17}}(\sqrt{17} - 1)}{\cancel{\sqrt{17}}} = \sqrt{17} - 1$
Ответ: $\sqrt{17} - 1$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{m - 12\sqrt{m} + 36}{m - 36}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $m - 12\sqrt{m} + 36$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{m}$ и $b = 6$:
$m - 12\sqrt{m} + 36 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{m} - 6)^2$.
Знаменатель $m - 36$ является разностью квадратов:
$m - 36 = (\sqrt{m})^2 - 6^2 = (\sqrt{m} - 6)(\sqrt{m} + 6)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(\sqrt{m} - 6)^2}{(\sqrt{m} - 6)(\sqrt{m} + 6)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{m} - 6)$, при условии, что $\sqrt{m} - 6 \ne 0$.
$\frac{(\sqrt{m} - 6)^{\cancel{2}}}{(\cancel{\sqrt{m} - 6})(\sqrt{m} + 6)} = \frac{\sqrt{m} - 6}{\sqrt{m} + 6}$
Ответ: $\frac{\sqrt{m} - 6}{\sqrt{m} + 6}$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{21} - 3}{7 - \sqrt{21}}$, разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся общие множители.
В числителе представим $\sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3}\sqrt{7}$ и $3 = (\sqrt{3})^2$.
$\sqrt{21} - 3 = \sqrt{3}\sqrt{7} - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
В знаменателе представим $7 = (\sqrt{7})^2$ и $\sqrt{21} = \sqrt{7}\sqrt{3}$.
$7 - \sqrt{21} = (\sqrt{7})^2 - \sqrt{7}\sqrt{3} = \sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{3})$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{7}(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{7} - \sqrt{3})$, который не равен нулю.
$\frac{\sqrt{3}\cancel{(\sqrt{7} - \sqrt{3})}}{\sqrt{7}\cancel{(\sqrt{7} - \sqrt{3})}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$