Номер 101, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 101, страница 20.

Условие.

101. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{99} - \sqrt{44}) \cdot \sqrt{11};$

2) $(4\sqrt{6} - \sqrt{54} + \sqrt{24}) \cdot \sqrt{6};$

3) $(12 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7});$

4) $(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5});$

5) $(\sqrt{14} - \sqrt{10})(\sqrt{14} + \sqrt{10});$

6) $(3\sqrt{a} + 7\sqrt{b})(3\sqrt{a} - 7\sqrt{b});$

7) $(\sqrt{7} + 1)^2;$

8) $(4\sqrt{5} - 5\sqrt{2})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения данного примера сначала упростим выражение в скобках. Разложим подкоренные выражения на множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня: $ \sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = 3\sqrt{11} $ и $ \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11} $. Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение: $ (3\sqrt{11} - 2\sqrt{11}) \cdot \sqrt{11} $. Выполним вычитание в скобках: $ (3-2)\sqrt{11} = 1\sqrt{11} = \sqrt{11} $. Теперь умножим результат на $ \sqrt{11} $: $ \sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 11 $.
Ответ: $11$

2) Сначала упростим слагаемые в скобках, вынеся множитель из-под знака корня: $ \sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6} $ и $ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $. Выражение примет вид: $ (4\sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}) \cdot \sqrt{6} $. Приведем подобные слагаемые в скобках: $ (4 - 3 + 2)\sqrt{6} = 3\sqrt{6} $. Теперь выполним умножение: $ 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 3 \cdot 6 = 18 $.
Ответ: $18$

3) Для умножения двух скобок воспользуемся правилом умножения многочленов (правило FOIL), где каждый член первой скобки умножается на каждый член второй скобки: $ (12 - \sqrt{7})(3 + 2\sqrt{7}) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot 2\sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} $. Выполним умножения: $ 36 + 24\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 36 + 24\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 2 \cdot 7 = 36 + 24\sqrt{7} - 3\sqrt{7} - 14 $. Приведем подобные слагаемые (числа с числами, корни с корнями): $ (36 - 14) + (24 - 3)\sqrt{7} = 22 + 21\sqrt{7} $.
Ответ: $22 + 21\sqrt{7}$

4) Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов: $ (2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(3\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{5}) + 3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} + 3\sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) $. Выполним умножения: $ (2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}\sqrt{3}) - (2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}\sqrt{5}) + (3 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}\sqrt{3}) - (3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}\sqrt{5}) = (6 \cdot 3) - 4\sqrt{15} + 9\sqrt{15} - (6 \cdot 5) = 18 - 4\sqrt{15} + 9\sqrt{15} - 30 $. Приведем подобные слагаемые: $ (18 - 30) + (-4 + 9)\sqrt{15} = -12 + 5\sqrt{15} $.
Ответ: $-12 + 5\sqrt{15}$

5) В этом примере можно применить формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. В нашем случае $ a = \sqrt{14} $ и $ b = \sqrt{10} $. Тогда: $ (\sqrt{14} - \sqrt{10})(\sqrt{14} + \sqrt{10}) = (\sqrt{14})^2 - (\sqrt{10})^2 = 14 - 10 = 4 $.
Ответ: $4$

6) Здесь также применима формула сокращенного умножения "разность квадратов": $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $. В данном примере $ x = 3\sqrt{a} $ и $ y = 7\sqrt{b} $. Получаем: $ (3\sqrt{a})^2 - (7\sqrt{b})^2 = 3^2(\sqrt{a})^2 - 7^2(\sqrt{b})^2 = 9a - 49b $. (Предполагается, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$).
Ответ: $9a - 49b$

7) Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. В нашем случае $ a = \sqrt{7} $ и $ b = 1 $. Получаем: $ (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = 7 + 2\sqrt{7} + 1 $. Сложим числовые слагаемые: $ (7+1) + 2\sqrt{7} = 8 + 2\sqrt{7} $.
Ответ: $8 + 2\sqrt{7}$

8) Применим формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $. Здесь $ a = 4\sqrt{5} $ и $ b = 5\sqrt{2} $. Получаем: $ (4\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2} + (5\sqrt{2})^2 = 4^2(\sqrt{5})^2 - (2 \cdot 4 \cdot 5)\sqrt{5 \cdot 2} + 5^2(\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 5 - 40\sqrt{10} + 25 \cdot 2 = 80 - 40\sqrt{10} + 50 $. Приведем подобные слагаемые: $ (80+50) - 40\sqrt{10} = 130 - 40\sqrt{10} $.
Ответ: $130 - 40\sqrt{10}$