Номер 95, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 95, страница 18.

Условие.

95. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2} = x + 3;$

2) $\sqrt{x^2} = 2 - x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2} = x + 3 $.
Основное свойство квадратного корня из квадрата числа заключается в том, что $ \sqrt{a^2} = |a| $ (модуль числа a). Применяя это свойство, мы можем переписать уравнение в следующем виде:
$ |x| = x + 3 $.
Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам условие:
$ x + 3 \ge 0 $, что означает $ x \ge -3 $.
Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $ x \ge 0 $.
В этом случае $ |x| = x $. Подставим это в уравнение:
$ x = x + 3 $
$ 0 = 3 $
Это равенство является неверным, следовательно, при $ x \ge 0 $ уравнение не имеет решений.

Случай 2: $ x < 0 $.
В этом случае $ |x| = -x $. Подставим это в уравнение:
$ -x = x + 3 $
Перенесем x из правой части в левую:
$ -2x = 3 $
$ x = -\frac{3}{2} $
$ x = -1.5 $
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям. Во-первых, он должен соответствовать условию данного случая: $ -1.5 < 0 $, что верно. Во-вторых, он должен удовлетворять общему ограничению: $ -1.5 \ge -3 $, что также верно.
Таким образом, $ x = -1.5 $ является решением.

Ответ: $ -1.5 $

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{x^2} = 2 - x $.
Как и в предыдущем примере, заменим $ \sqrt{x^2} $ на $ |x| $:
$ |x| = 2 - x $.
Выражение в правой части должно быть неотрицательным, так как оно равно модулю:
$ 2 - x \ge 0 $, что означает $ x \le 2 $.
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $ x \ge 0 $.
При этом условии $ |x| = x $. Уравнение принимает вид:
$ x = 2 - x $
$ 2x = 2 $
$ x = 1 $
Проверим, удовлетворяет ли корень $ x=1 $ условиям. Условие случая $ 1 \ge 0 $ выполнено. Общее ограничение $ 1 \le 2 $ также выполнено. Следовательно, $ x=1 $ является решением.

Случай 2: $ x < 0 $.
При этом условии $ |x| = -x $. Уравнение принимает вид:
$ -x = 2 - x $
$ 0 = 2 $
Это неверное равенство, поэтому в этом случае решений нет.

Единственным решением является $ x = 1 $. Проведем проверку, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{1^2} = 2 - 1 $
$ \sqrt{1} = 1 $
$ 1 = 1 $
Равенство верное.

Ответ: $ 1 $