Номер 100, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 100, страница 19.

Условие.

100. Упростите выражение:

1) $\sqrt{16a} + \sqrt{100a} - \sqrt{81a}$;

2) $\sqrt{20} - \sqrt{125} + \sqrt{405}$;

3) $4\sqrt{27b} - 5\sqrt{48b} + \frac{1}{4}\sqrt{192b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $ \sqrt{16a} + \sqrt{100a} - \sqrt{81a} $.

Для этого воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $ и вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Данное выражение имеет смысл при $ a \ge 0 $.

$ \sqrt{16a} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{a} = 4\sqrt{a} $

$ \sqrt{100a} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{a} = 10\sqrt{a} $

$ \sqrt{81a} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{a} = 9\sqrt{a} $

Подставим полученные значения в исходное выражение и приведем подобные слагаемые, имеющие общий множитель $ \sqrt{a} $:

$ 4\sqrt{a} + 10\sqrt{a} - 9\sqrt{a} = (4 + 10 - 9)\sqrt{a} = 5\sqrt{a} $

Ответ: $ 5\sqrt{a} $.

2) Упростим выражение $ \sqrt{20} - \sqrt{125} + \sqrt{405} $.

Для этого разложим каждое подкоренное выражение на множители, один из которых является полным квадратом, и вынесем его из-под знака корня.

$ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} $

$ \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} $

$ \sqrt{405} = \sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{5} = 9\sqrt{5} $

Подставим упрощенные значения в выражение и приведем подобные слагаемые:

$ 2\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = (2 - 5 + 9)\sqrt{5} = 6\sqrt{5} $

Ответ: $ 6\sqrt{5} $.

3) Упростим выражение $ 4\sqrt{27b} - 5\sqrt{48b} + \frac{1}{4}\sqrt{192b} $.

Как и в предыдущих примерах, вынесем множители из-под знака корня в каждом члене выражения. Выражение имеет смысл при $ b \ge 0 $.

Упростим каждый член по отдельности:

$ 4\sqrt{27b} = 4\sqrt{9 \cdot 3b} = 4 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3b} = 4 \cdot 3\sqrt{3b} = 12\sqrt{3b} $

$ 5\sqrt{48b} = 5\sqrt{16 \cdot 3b} = 5 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3b} = 5 \cdot 4\sqrt{3b} = 20\sqrt{3b} $

$ \frac{1}{4}\sqrt{192b} = \frac{1}{4}\sqrt{64 \cdot 3b} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{3b} = \frac{1}{4} \cdot 8\sqrt{3b} = 2\sqrt{3b} $

Подставим упрощенные члены в исходное выражение и приведем подобные слагаемые с общим множителем $ \sqrt{3b} $:

$ 12\sqrt{3b} - 20\sqrt{3b} + 2\sqrt{3b} = (12 - 20 + 2)\sqrt{3b} = (-8 + 2)\sqrt{3b} = -6\sqrt{3b} $

Ответ: $ -6\sqrt{3b} $.