Номер 94, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 94, страница 18.

Условие.

94. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - x + 1}$, если $x \ge 0$;

2) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$, если $x \le 0$;

3) $y = \sqrt{x^2 + 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \sqrt{x^2} - x + 1$, если $x \ge 0$

Для построения графика данной функции необходимо сначала упростить ее выражение. Функция определена для всех $x \ge 0$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как по условию $x \ge 0$, то модуль раскрывается со знаком плюс: $|x| = x$.

Подставим это выражение в исходную функцию: $y = x - x + 1$

После упрощения получаем: $y = 1$

Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$, функция тождественно равна 1. Графиком этой функции является луч, который начинается в точке с координатой $x=0$ и идет вправо параллельно оси абсцисс.

Найдем начальную точку луча: при $x=0$, $y=1$. Координаты точки $(0, 1)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = 1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и определенный для всех $x \ge 0$.

2) $y = \sqrt{x^2} - 2x + 5$, если $x \le 0$

Упростим выражение для функции. Функция определена для всех $x \le 0$.

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как по условию $x \le 0$, модуль раскрывается со знаком минус: $|x| = -x$.

Подставим это в уравнение функции: $y = -x - 2x + 5$

После упрощения получаем линейную функцию: $y = -3x + 5$

Так как функция определена только для $x \le 0$, ее графиком будет луч. Для построения луча найдем две точки.

Начальная точка луча (при $x=0$): $y(0) = -3(0) + 5 = 5$. Координаты точки $(0, 5)$.

Возьмем еще одну точку, принадлежащую области определения, например $x = -2$: $y(-2) = -3(-2) + 5 = 6 + 5 = 11$. Координаты точки $(-2, 11)$.

Ответ: Графиком функции является луч, который является частью прямой $y = -3x + 5$, с началом в точке $(0, 5)$ и проходящий через точку $(-2, 11)$ для всех $x \le 0$.

3) $y = \sqrt{x^2} + 1$

Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in R$). Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = |x| + 1$

График этой функции можно получить из графика стандартной функции $y = |x|$ путем его сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy). График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат.

Для более точного построения раскроем модуль. Функция является кусочно-заданной:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий вправо и вверх.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция имеет вид $y = -x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ и идущий влево и вверх.

Вершина "галочки" находится в точке $(0, 1)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Графиком функции является график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу вверх по оси Oy. Он состоит из двух лучей: $y = x + 1$ для $x \ge 0$ и $y = -x + 1$ для $x < 0$, которые соединяются в общей вершине в точке $(0, 1)$.