Номер 93, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 93, страница 18.

Условие.

93. Упростите выражение:

1) $\sqrt{16x^{14}}$, если $x \leq 0$;

2) $\sqrt{4x^8y^2}$, если $y \geq 0$;

3) $\sqrt{0.64x^6y^{10}}$, если $x \geq 0, y \leq 0$;

4) $\frac{\sqrt{a^{10}b^{20}c^{30}}}{a^2b^3c^4}$, если $a > 0, c < 0$;

5) $\frac{1.4x^5}{y^2}\sqrt{\frac{y^{14}}{0.49x^8}}$, если $y > 0$;

6) $-0.2a^3\sqrt{1.21a^{18}b^{16}}$, если $a \leq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{16x^{14}}$ используем свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и основное тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{16x^{14}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{14}} = 4 \cdot \sqrt{(x^7)^2} = 4|x^7|$.
По условию $x \le 0$. Так как степень 7 нечетная, то при $x \le 0$ выполняется и $x^7 \le 0$.
По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$. Следовательно, $|x^7| = -x^7$.
Подставляем это в выражение: $4 \cdot (-x^7) = -4x^7$.
Ответ: $-4x^7$.

2) Упростим выражение $\sqrt{4x^8y^2}$.
$\sqrt{4x^8y^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{y^2} = 2 \cdot \sqrt{(x^4)^2} \cdot \sqrt{y^2} = 2|x^4||y|$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого значения $x$, поэтому $|x^4| = x^4$.
По условию $y \ge 0$, поэтому по определению модуля $|y| = y$.
Подставляем полученные значения: $2x^4y$.
Ответ: $2x^4y$.

3) Упростим выражение $\sqrt{0,64x^6y^{10}}$.
$\sqrt{0,64x^6y^{10}} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^{10}} = 0,8 \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{(y^5)^2} = 0,8|x^3||y^5|$.
По условию $x \ge 0$. Так как степень 3 нечетная, то $x^3 \ge 0$, и $|x^3| = x^3$.
По условию $y \le 0$. Так как степень 5 нечетная, то $y^5 \le 0$, и $|y^5| = -y^5$.
Подставляем в выражение: $0,8 \cdot x^3 \cdot (-y^5) = -0,8x^3y^5$.
Ответ: $-0,8x^3y^5$.

4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{a^{10}b^{20}c^{30}}}{a^2b^3c^4}$.
Сначала упростим числитель: $\sqrt{a^{10}b^{20}c^{30}} = |a^5||b^{10}||c^{15}|$.
По условию $a > 0$, значит $a^5 > 0$, и $|a^5| = a^5$.
Выражение $b^{10}$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^{10}| = b^{10}$.
По условию $c < 0$, значит $c^{15} < 0$ (нечетная степень), и $|c^{15}| = -c^{15}$.
Числитель равен $a^5 \cdot b^{10} \cdot (-c^{15}) = -a^5b^{10}c^{15}$.
Теперь разделим на знаменатель: $\frac{-a^5b^{10}c^{15}}{a^2b^3c^4}$.
Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, получаем:
$-a^{5-2}b^{10-3}c^{15-4} = -a^3b^7c^{11}$.
Ответ: $-a^3b^7c^{11}$.

5) Упростим выражение $\frac{1,4x^5}{y^2}\sqrt{\frac{y^{14}}{0,49x^8}}$.
Сначала вынесем множители из-под корня: $\sqrt{\frac{y^{14}}{0,49x^8}} = \frac{\sqrt{y^{14}}}{\sqrt{0,49x^8}} = \frac{|y^7|}{0,7|x^4|}$.
По условию $y > 0$, значит $y^7 > 0$, и $|y^7| = y^7$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$ (при $x \ne 0$).
Таким образом, выражение под корнем равно $\frac{y^7}{0,7x^4}$.
Теперь умножим на множитель перед корнем: $\frac{1,4x^5}{y^2} \cdot \frac{y^7}{0,7x^4}$.
Сгруппируем и сократим: $(\frac{1,4}{0,7}) \cdot (\frac{x^5}{x^4}) \cdot (\frac{y^7}{y^2}) = 2 \cdot x^{5-4} \cdot y^{7-2} = 2xy^5$.
Ответ: $2xy^5$.

6) Упростим выражение $-0,2a^3\sqrt{1,21a^{18}b^{16}}$.
Сначала упростим корень: $\sqrt{1,21a^{18}b^{16}} = \sqrt{1,21} \cdot \sqrt{a^{18}} \cdot \sqrt{b^{16}} = 1,1 \cdot |a^9| \cdot |b^8|$.
По условию $a \le 0$, значит $a^9 \le 0$ (нечетная степень), и $|a^9| = -a^9$.
Выражение $b^8$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^8| = b^8$.
Выражение под корнем равно $1,1 \cdot (-a^9) \cdot b^8 = -1,1a^9b^8$.
Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,2a^3 \cdot (-1,1a^9b^8)$.
Перемножим коэффициенты и сложим степени: $(-0,2) \cdot (-1,1) \cdot a^{3+9} \cdot b^8 = 0,22a^{12}b^8$.
Ответ: $0,22a^{12}b^8$.