Номер 97, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 97, страница 19.

Условие.

97. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{2a^2}$, если $a \ge 0$;

2) $\sqrt{7b^2}$, если $b \le 0$;

3) $\sqrt{8a^4}$;

4) $\sqrt{x^9}$;

5) $\sqrt{-a^7}$;

6) $\sqrt{x^4y^{11}}$, если $x \ne 0$;

7) $\sqrt{9a^2b}$, если $a < 0$;

8) $\sqrt{a^3b^3}$, если $a \le 0, b \le 0$;

9) $\sqrt{36a^2b^{15}}$, если $a > 0$;

10) $\sqrt{500a^7b^{14}}$, если $b < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)Для вынесения множителя из-под знака корня воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$.$\sqrt{2a^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{2} \cdot |a|$.Поскольку по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$.Следовательно, получаем $a\sqrt{2}$.
Ответ: $a\sqrt{2}$

2)Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$.$\sqrt{7b^2} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{7} \cdot |b|$.Поскольку по условию $b \le 0$, то $|b| = -b$.Следовательно, получаем $-b\sqrt{7}$.
Ответ: $-b\sqrt{7}$

3)Представим число $8$ как $4 \cdot 2$, а $a^4$ как $(a^2)^2$.$\sqrt{8a^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (a^2)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot |a^2| \cdot \sqrt{2}$.Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому $|a^2| = a^2$.В результате получаем $2a^2\sqrt{2}$.
Ответ: $2a^2\sqrt{2}$

4)Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x^9 \ge 0$, что верно при $x \ge 0$.Представим $x^9$ в виде $x^8 \cdot x = (x^4)^2 \cdot x$.$\sqrt{x^9} = \sqrt{(x^4)^2 \cdot x} = \sqrt{(x^4)^2} \cdot \sqrt{x} = |x^4|\sqrt{x}$.Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$.В результате получаем $x^4\sqrt{x}$.
Ответ: $x^4\sqrt{x}$

5)Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^7 \ge 0$, что эквивалентно $a^7 \le 0$, а это выполняется при $a \le 0$.Представим подкоренное выражение как $-a^7 = a^6 \cdot (-a) = (a^3)^2 \cdot (-a)$.$\sqrt{-a^7} = \sqrt{(a^3)^2 \cdot (-a)} = \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{-a} = |a^3|\sqrt{-a}$.Так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и, следовательно, $|a^3| = -a^3$.В результате получаем $-a^3\sqrt{-a}$.
Ответ: $-a^3\sqrt{-a}$

6)Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^4y^{11} \ge 0$. Так как $x^4 > 0$ при $x \ne 0$, необходимо, чтобы $y^{11} \ge 0$, что верно при $y \ge 0$.Представим $y^{11}$ как $y^{10} \cdot y = (y^5)^2 \cdot y$.$\sqrt{x^4y^{11}} = \sqrt{(x^2)^2 \cdot (y^5)^2 \cdot y} = |x^2| \cdot |y^5| \cdot \sqrt{y}$.Так как $x^2 \ge 0$, то $|x^2|=x^2$. Так как $y \ge 0$, то $y^5 \ge 0$, и $|y^5|=y^5$.В результате получаем $x^2y^5\sqrt{y}$.
Ответ: $x^2y^5\sqrt{y}$

7)Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $9a^2b \ge 0$. Так как $9a^2 > 0$ при $a < 0$, то $b \ge 0$.$\sqrt{9a^2b} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = 3 \cdot |a| \cdot \sqrt{b}$.По условию $a < 0$, поэтому $|a| = -a$.В результате получаем $3(-a)\sqrt{b} = -3a\sqrt{b}$.
Ответ: $-3a\sqrt{b}$

8)По условию $a \le 0$ и $b \le 0$. Тогда $a^3 \le 0$ и $b^3 \le 0$, а их произведение $a^3b^3 \ge 0$, так что выражение определено.Представим подкоренное выражение как $a^3b^3 = a^2b^2 \cdot ab = (ab)^2 \cdot ab$.$\sqrt{a^3b^3} = \sqrt{(ab)^2 \cdot ab} = |ab|\sqrt{ab}$.Поскольку $a \le 0$ и $b \le 0$, то их произведение $ab \ge 0$, следовательно $|ab| = ab$.В результате получаем $ab\sqrt{ab}$.
Ответ: $ab\sqrt{ab}$

9)Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $36a^2b^{15} \ge 0$. Так как $a > 0$, то $36a^2 > 0$. Следовательно, $b^{15} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.Представим $b^{15}$ как $b^{14} \cdot b = (b^7)^2 \cdot b$.$\sqrt{36a^2b^{15}} = \sqrt{36 \cdot a^2 \cdot (b^7)^2 \cdot b} = 6 \cdot |a| \cdot |b^7| \cdot \sqrt{b}$.По условию $a > 0$, значит $|a| = a$. Так как $b \ge 0$, то $b^7 \ge 0$, и $|b^7| = b^7$.В результате получаем $6ab^7\sqrt{b}$.
Ответ: $6ab^7\sqrt{b}$

10)Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $500a^7b^{14} \ge 0$. По условию $b < 0$, значит $b^{14} > 0$. Следовательно, $a^7 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.Представим $500$ как $100 \cdot 5$, $a^7$ как $a^6 \cdot a = (a^3)^2 \cdot a$, и $b^{14}$ как $(b^7)^2$.$\sqrt{500a^7b^{14}} = \sqrt{100 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^7)^2 \cdot 5a} = 10 \cdot |a^3| \cdot |b^7| \cdot \sqrt{5a}$.Так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$, и $|a^3|=a^3$.Так как $b < 0$, то $b^7 < 0$, и $|b^7|=-b^7$.В результате получаем $10 \cdot a^3 \cdot (-b^7) \cdot \sqrt{5a} = -10a^3b^7\sqrt{5a}$.
Ответ: $-10a^3b^7\sqrt{5a}$