Номер 104, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 104, страница 20.

Условие.

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt{17}}$;

2) $\frac{12}{\sqrt{3}}$;

3) $\frac{30}{7\sqrt{5}}$;

4) $\frac{a^3}{b\sqrt{a}}$;

5) $\frac{x - 3}{\sqrt{x - 3}}$;

6) $\frac{1}{\sqrt{26} - 1}$;

7) $\frac{35}{\sqrt{37} + \sqrt{2}}$;

8) $\frac{16}{\sqrt{47} - \sqrt{15}}$;

9) $\frac{x - 4}{\sqrt{x + 5} - 3}$;

10) $\frac{x^2 + 4x}{\sqrt{x + 8} - 2}$;

11) $\frac{x^2 - 16}{3 - \sqrt{x + 5}}$;

12) $\frac{x}{\sqrt{3 - x} + \sqrt{3 + 2x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{6}{\sqrt{17}}$, нужно домножить её числитель и знаменатель на $\sqrt{17}$.
$\frac{6}{\sqrt{17}} = \frac{6 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{6\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{17}}{17}$.

2)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{12}{\sqrt{3}}$, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$ и упростим полученное выражение.
$\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

3)

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{30}{7\sqrt{5}}$ на иррациональную часть знаменателя, то есть на $\sqrt{5}$, и сократим полученную дробь.
$\frac{30}{7\sqrt{5}} = \frac{30 \cdot \sqrt{5}}{7\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{30\sqrt{5}}{7 \cdot 5} = \frac{30\sqrt{5}}{35} = \frac{6\sqrt{5}}{7}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{5}}{7}$.

4)

Для дроби $\frac{a^3}{b\sqrt{a}}$ домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$ (при условии, что $a > 0$).
$\frac{a^3}{b\sqrt{a}} = \frac{a^3 \cdot \sqrt{a}}{b\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{a^3\sqrt{a}}{b \cdot a} = \frac{a^2\sqrt{a}}{b}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{a}}{b}$.

5)

Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{x-3}{\sqrt{x-3}}$ можно домножить на $\sqrt{x-3}$ или заметить, что числитель является квадратом знаменателя (при $x > 3$).
$\frac{x-3}{\sqrt{x-3}} = \frac{(\sqrt{x-3})^2}{\sqrt{x-3}} = \sqrt{x-3}$.

Ответ: $\sqrt{x-3}$.

6)

Знаменатель дроби $\frac{1}{\sqrt{26}-1}$ представляет собой разность. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{26}+1$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$\frac{1}{\sqrt{26}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{26}+1)}{(\sqrt{26}-1)(\sqrt{26}+1)} = \frac{\sqrt{26}+1}{(\sqrt{26})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{26}+1}{26-1} = \frac{\sqrt{26}+1}{25}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{26}+1}{25}$.

7)

Знаменатель дроби $\frac{35}{\sqrt{37}+\sqrt{2}}$ является суммой корней. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{37}-\sqrt{2}$.
$\frac{35}{\sqrt{37}+\sqrt{2}} = \frac{35(\sqrt{37}-\sqrt{2})}{(\sqrt{37}+\sqrt{2})(\sqrt{37}-\sqrt{2})} = \frac{35(\sqrt{37}-\sqrt{2})}{(\sqrt{37})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{35(\sqrt{37}-\sqrt{2})}{37-2} = \frac{35(\sqrt{37}-\sqrt{2})}{35} = \sqrt{37}-\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{37}-\sqrt{2}$.

8)

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{16}{\sqrt{47}-\sqrt{15}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{47}+\sqrt{15}$.
$\frac{16}{\sqrt{47}-\sqrt{15}} = \frac{16(\sqrt{47}+\sqrt{15})}{(\sqrt{47}-\sqrt{15})(\sqrt{47}+\sqrt{15})} = \frac{16(\sqrt{47}+\sqrt{15})}{(\sqrt{47})^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{16(\sqrt{47}+\sqrt{15})}{47-15} = \frac{16(\sqrt{47}+\sqrt{15})}{32} = \frac{\sqrt{47}+\sqrt{15}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{47}+\sqrt{15}}{2}$.

9)

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{x+5}+3$. Область определения: $x+5 \ge 0$ и $\sqrt{x+5}-3 \neq 0$, т.е. $x \ge -5$ и $x \neq 4$.
$\frac{x-4}{\sqrt{x+5}-3} = \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{(\sqrt{x+5})^2 - 3^2} = \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{(x+5)-9} = \frac{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{x-4} = \sqrt{x+5}+3$.

Ответ: $\sqrt{x+5}+3$.

10)

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{x^2+4x}{\sqrt{x+8}-2}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{x+8}+2$. Область определения: $x+8 \ge 0$ и $\sqrt{x+8}-2 \neq 0$, т.е. $x \ge -8$ и $x \neq -4$.
$\frac{x^2+4x}{\sqrt{x+8}-2} = \frac{x(x+4)(\sqrt{x+8}+2)}{(\sqrt{x+8}-2)(\sqrt{x+8}+2)} = \frac{x(x+4)(\sqrt{x+8}+2)}{(\sqrt{x+8})^2 - 2^2} = \frac{x(x+4)(\sqrt{x+8}+2)}{(x+8)-4} = \frac{x(x+4)(\sqrt{x+8}+2)}{x+4} = x(\sqrt{x+8}+2)$.

Ответ: $x(\sqrt{x+8}+2)$.

11)

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{x^2-16}{3-\sqrt{x+5}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $3+\sqrt{x+5}$. Область определения: $x+5 \ge 0$ и $3-\sqrt{x+5} \neq 0$, т.е. $x \ge -5$ и $x \neq 4$.
$\frac{x^2-16}{3-\sqrt{x+5}} = \frac{(x^2-16)(3+\sqrt{x+5})}{(3-\sqrt{x+5})(3+\sqrt{x+5})} = \frac{(x-4)(x+4)(3+\sqrt{x+5})}{3^2 - (\sqrt{x+5})^2} = \frac{(x-4)(x+4)(3+\sqrt{x+5})}{9-(x+5)} = \frac{(x-4)(x+4)(3+\sqrt{x+5})}{4-x} = \frac{(x-4)(x+4)(3+\sqrt{x+5})}{-(x-4)} = -(x+4)(3+\sqrt{x+5})$.

Ответ: $-(x+4)(3+\sqrt{x+5})$.

12)

Домножим числитель и знаменатель дроби $\frac{x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x}$. Область определения: $3-x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$ и $3+2x \ge 0 \Rightarrow x \ge -1.5$. Знаменатель не равен нулю при $x \ne 0$.
$\frac{x}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x}} = \frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{(\sqrt{3-x}+\sqrt{3+2x})(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})} = \frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{(\sqrt{3-x})^2 - (\sqrt{3+2x})^2} = \frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{(3-x)-(3+2x)} = \frac{x(\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x})}{-3x} = \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+2x}}{-3} = \frac{\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-x}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-x}}{3}$.