Номер 105, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 105, страница 21.

Условие.

105. Найдите значение выражения:

1) $\frac{12}{12 - 5\sqrt{6}} - \frac{12}{12 + 5\sqrt{6}};

2) $\frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{24} - 1} - \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{24} + 1};

3) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{12}{12 - 5\sqrt{6}} - \frac{12}{12 + 5\sqrt{6}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей: $(12 - 5\sqrt{6})(12 + 5\sqrt{6})$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(12 - 5\sqrt{6})(12 + 5\sqrt{6}) = 12^2 - (5\sqrt{6})^2 = 144 - 25 \cdot 6 = 144 - 150 = -6$.

Теперь преобразуем выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{12(12 + 5\sqrt{6})}{(12 - 5\sqrt{6})(12 + 5\sqrt{6})} - \frac{12(12 - 5\sqrt{6})}{(12 - 5\sqrt{6})(12 + 5\sqrt{6})} = \frac{12(12 + 5\sqrt{6}) - 12(12 - 5\sqrt{6})}{-6}$.

Упростим числитель:

$12(12 + 5\sqrt{6}) - 12(12 - 5\sqrt{6}) = (144 + 60\sqrt{6}) - (144 - 60\sqrt{6}) = 144 + 60\sqrt{6} - 144 + 60\sqrt{6} = 120\sqrt{6}$.

Подставим результат в дробь и вычислим значение:

$\frac{120\sqrt{6}}{-6} = -20\sqrt{6}$.

Ответ: $-20\sqrt{6}$.

2) Для решения выражения $\frac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{24}} - 1} - \frac{3}{\sqrt{7 + \sqrt{24}} + 1}$ приведем дроби к общему знаменателю.

Пусть $x = \sqrt{7 + \sqrt{24}}$. Тогда выражение можно записать как $\frac{3}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$.

Общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Приведем дроби к общему знаменателю и упростим числитель:

$\frac{3(x + 1) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x + 3 - 3x + 3}{x^2 - 1} = \frac{6}{x^2 - 1}$.

Теперь подставим обратно значение $x$. Поскольку $x = \sqrt{7 + \sqrt{24}}$, то $x^2 = (\sqrt{7 + \sqrt{24}})^2 = 7 + \sqrt{24}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{6}{(7 + \sqrt{24}) - 1} = \frac{6}{6 + \sqrt{24}}$.

Упростим корень в знаменателе: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$\frac{6}{6 + 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2(3 + \sqrt{6})} = \frac{3}{3 + \sqrt{6}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3 - \sqrt{6}$:

$\frac{3(3 - \sqrt{6})}{(3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})} = \frac{9 - 3\sqrt{6}}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{9 - 3\sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{9 - 3\sqrt{6}}{3}$.

Сократим дробь:

$\frac{3(3 - \sqrt{6})}{3} = 3 - \sqrt{6}$.

Ответ: $3 - \sqrt{6}$.

3) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$, приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$. По формуле разности квадратов:

$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Теперь преобразуем всё выражение:

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$.

Сложим полученные выражения в числителе:

$(8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\frac{16}{2} = 8$.

Ответ: $8$.