Номер 112, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 112, страница 22.

Условие.

112. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt{11}$;

2) $\sqrt{34}$;

3) $\sqrt{0,93}$;

4) $-\sqrt{63,25}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt{11}$, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt{11} < n+1$.

Поскольку все части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $n^2 < 11 < (n+1)^2$.

Подберем ближайшие к 11 полные квадраты целых чисел. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$.

Таким образом, мы можем записать неравенство: $9 < 11 < 16$, что эквивалентно $3^2 < 11 < 4^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей этого неравенства, мы получаем: $\sqrt{3^2} < \sqrt{11} < \sqrt{4^2}$, то есть $3 < \sqrt{11} < 4$.

Это означает, что число $\sqrt{11}$ находится на координатной прямой между целыми числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

2) Для числа $\sqrt{34}$ ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt{34} < n+1$.

Возведем неравенство в квадрат: $n^2 < 34 < (n+1)^2$.

Найдем ближайшие к 34 полные квадраты. $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.

Получаем неравенство $25 < 34 < 36$, или $5^2 < 34 < 6^2$.

Извлекая квадратный корень, приходим к неравенству $5 < \sqrt{34} < 6$.

Следовательно, число $\sqrt{34}$ находится между целыми числами 5 и 6.

Ответ: между 5 и 6.

3) Для числа $\sqrt{0,93}$ ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt{0,93} < n+1$.

Возводим в квадрат: $n^2 < 0,93 < (n+1)^2$.

Найдем ближайшие к 0,93 полные квадраты. Это $0^2 = 0$ и $1^2 = 1$.

Получаем неравенство $0 < 0,93 < 1$, или $0^2 < 0,93 < 1^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем $0 < \sqrt{0,93} < 1$.

Таким образом, число $\sqrt{0,93}$ находится между целыми числами 0 и 1.

Ответ: между 0 и 1.

4) Для числа $-\sqrt{63,25}$ сначала определим, между какими целыми числами находится положительное число $\sqrt{63,25}$. Ищем целое число $n$, такое что $n < \sqrt{63,25} < n+1$.

Возводим в квадрат: $n^2 < 63,25 < (n+1)^2$.

Найдем ближайшие к 63,25 полные квадраты. $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$.

Получаем неравенство $49 < 63,25 < 64$, или $7^2 < 63,25 < 8^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем $7 < \sqrt{63,25} < 8$.

Теперь умножим все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-7 > -\sqrt{63,25} > -8$.

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего к большему): $-8 < -\sqrt{63,25} < -7$.

Следовательно, число $-\sqrt{63,25}$ находится между целыми числами -8 и -7.

Ответ: между -8 и -7.