Номер 109, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 109, страница 21.

Условие.

109. Сравните:

1) $\sqrt{68}$ и $\sqrt{73}$;

2) $\sqrt{2,9}$ и $\sqrt{2,1}$;

3) 4 и $\sqrt{17}$;

4) $\sqrt{\frac{2}{3}}$ и 1;

5) -8 и $-\sqrt{63}$;

6) $\sqrt{38}$ и $2\sqrt{10}$;

7) $6\sqrt{5}$ и $5\sqrt{6}$;

8) $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,5}$;

9) $\frac{2}{5}\sqrt{62\frac{1}{2}}$ и $\frac{4}{3}\sqrt{5\frac{5}{8}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{68}$ и $\sqrt{73}$ достаточно сравнить подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, поэтому большему значению подкоренного выражения соответствует большее значение корня. Так как $68 < 73$, то $\sqrt{68} < \sqrt{73}$.
Ответ: $\sqrt{68} < \sqrt{73}$.

2) Аналогично предыдущему пункту, сравниваем подкоренные выражения $2,9$ и $2,1$. Так как $2,9 > 2,1$, то и $\sqrt{2,9} > \sqrt{2,1}$.
Ответ: $\sqrt{2,9} > \sqrt{2,1}$.

3) Чтобы сравнить $4$ и $\sqrt{17}$, представим число $4$ в виде корня. Для этого возведем $4$ в квадрат и запишем под знак корня: $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$. Теперь сравним $\sqrt{16}$ и $\sqrt{17}$. Так как $16 < 17$, то $\sqrt{16} < \sqrt{17}$, а значит $4 < \sqrt{17}$.
Ответ: $4 < \sqrt{17}$.

4) Чтобы сравнить $\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $1$, представим $1$ в виде корня: $1 = \sqrt{1^2} = \sqrt{1}$. Сравним подкоренные выражения: $\frac{2}{3}$ и $1$. Так как $\frac{2}{3} < 1$, то $\sqrt{\frac{2}{3}} < \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{\frac{2}{3}} < 1$.
Ответ: $\sqrt{\frac{2}{3}} < 1$.

5) Необходимо сравнить отрицательные числа $-8$ и $-\sqrt{63}$. Сначала сравним их модули (положительные значения): $8$ и $\sqrt{63}$. Представим $8$ как корень: $8 = \sqrt{64}$. Сравниваем $\sqrt{64}$ и $\sqrt{63}$. Так как $64 > 63$, то $\sqrt{64} > \sqrt{63}$, а значит $8 > \sqrt{63}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: если $a > b$, то $-a < -b$. Следовательно, $-8 < -\sqrt{63}$.
Ответ: $-8 < -\sqrt{63}$.

6) Чтобы сравнить $\sqrt{38}$ и $2\sqrt{10}$, внесем множитель $2$ под знак корня во втором выражении: $2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$. Теперь сравним $\sqrt{38}$ и $\sqrt{40}$. Так как $38 < 40$, то $\sqrt{38} < \sqrt{40}$, а значит $\sqrt{38} < 2\sqrt{10}$.
Ответ: $\sqrt{38} < 2\sqrt{10}$.

7) Для сравнения $6\sqrt{5}$ и $5\sqrt{6}$ внесем множители под знаки корней.
$6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180}$.
$5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}$.
Сравниваем $\sqrt{180}$ и $\sqrt{150}$. Так как $180 > 150$, то $\sqrt{180} > \sqrt{150}$, следовательно $6\sqrt{5} > 5\sqrt{6}$.
Ответ: $6\sqrt{5} > 5\sqrt{6}$.

8) Сравним $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{0,5}$. Преобразуем оба выражения, приведя их к виду $\sqrt{A}$, где A - некоторое число.
Первое число: $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} = \frac{3}{10}\sqrt{\frac{10}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{10})^2 \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{9}{100} \cdot \frac{10}{3}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10}{100 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{3}{10}}$.
Второе число: $\sqrt{0,5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{10}}$.
Теперь сравним подкоренные выражения $\frac{3}{10}$ и $\frac{5}{10}$. Так как $3 < 5$, то $\frac{3}{10} < \frac{5}{10}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{3}{10}} < \sqrt{\frac{5}{10}}$, а значит $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5}$.
Ответ: $0,3\sqrt{3\frac{1}{3}} < \sqrt{0,5}$.

9) Сравним $\frac{2}{5}\sqrt{62\frac{1}{2}}$ и $\frac{4}{3}\sqrt{5\frac{5}{8}}$. Преобразуем оба выражения, внеся множители под корень.
Первое число: $\frac{2}{5}\sqrt{62\frac{1}{2}} = \frac{2}{5}\sqrt{\frac{125}{2}} = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 \cdot \frac{125}{2}} = \sqrt{\frac{4}{25} \cdot \frac{125}{2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 125}{25 \cdot 2}} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$.
Второе число: $\frac{4}{3}\sqrt{5\frac{5}{8}} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{45}{8}} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 \cdot \frac{45}{8}} = \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{45}{8}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 45}{9 \cdot 8}} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$.
Оба выражения равны $\sqrt{10}$, следовательно, они равны между собой.
Ответ: $\frac{2}{5}\sqrt{62\frac{1}{2}} = \frac{4}{3}\sqrt{5\frac{5}{8}}$.