Номер 99, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 99, страница 19.

Условие.

99. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{11};$

2) $a\sqrt{b}$, если $a \ge 0;$

3) $a^5\sqrt{-a};$

4) $5x\sqrt{\frac{x}{5}};$

5) $(a+2)\sqrt{\frac{1}{a+2}};$

6) $(a-3)\sqrt{\frac{1}{9-3a}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $a\sqrt{11}$

Чтобы внести множитель $a$ под знак корня, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от знака $a$.

Случай 1: $a \ge 0$

Если $a$ — неотрицательное число, то $a = \sqrt{a^2}$. Поэтому:

$a\sqrt{11} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{11a^2}$

Случай 2: $a < 0$

Если $a$ — отрицательное число, то $a = -\sqrt{a^2}$. Поэтому:

$a\sqrt{11} = -\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{11} = -\sqrt{11a^2}$

Поскольку в условии не указан знак $a$, полный ответ должен включать оба случая.

Ответ: $\sqrt{11a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{11a^2}$, если $a < 0$.

2) $a\sqrt{b}$, если $a \ge 0$

По условию, множитель $a$ является неотрицательным ($a \ge 0$). Также для существования корня необходимо, чтобы $b \ge 0$.

Для неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $a = \sqrt{a^2}$.

Внесем множитель $a$ под знак корня, возведя его в квадрат:

$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$

Ответ: $\sqrt{a^2b}$

3) $a^5\sqrt{-a}$

Сначала определим область допустимых значений для переменной $a$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что означает $a \le 0$.

Теперь определим знак множителя $a^5$, который мы вносим под корень. Поскольку $a \le 0$ (и $a \ne 0$, иначе выражение равно 0), то $a^5$ будет отрицательным числом (нечетная степень отрицательного числа).

При внесении отрицательного множителя $c$ под знак корня используется правило $c\sqrt{d} = -\sqrt{c^2d}$.

В нашем случае $c = a^5$ и $d = -a$.

$a^5\sqrt{-a} = -\sqrt{(a^5)^2 \cdot (-a)} = -\sqrt{a^{10} \cdot (-a)} = -\sqrt{-a^{11}}$

Ответ: $-\sqrt{-a^{11}}$

4) $5x\sqrt{\frac{x}{5}}$

Найдем область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{x}{5} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Множитель, который мы вносим под корень, — это $5x$. Поскольку $x \ge 0$, множитель $5x$ также неотрицателен ($5x \ge 0$).

Для внесения неотрицательного множителя под корень, мы возводим его в квадрат:

$5x\sqrt{\frac{x}{5}} = \sqrt{(5x)^2 \cdot \frac{x}{5}}$

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{25x^2 \cdot \frac{x}{5}} = \sqrt{\frac{25x^2 \cdot x}{5}} = \sqrt{5x^3}$

Ответ: $\sqrt{5x^3}$

5) $(a+2)\sqrt{\frac{1}{a+2}}$

Определим область допустимых значений. Знаменатель подкоренного выражения не может быть равен нулю, и само выражение должно быть неотрицательным. Это возможно только если $a+2 > 0$, то есть $a > -2$.

Множитель, который мы вносим под корень, — это $(a+2)$. Из условия $a > -2$ следует, что множитель $(a+2)$ является положительным.

Вносим положительный множитель под корень, возводя его в квадрат:

$(a+2)\sqrt{\frac{1}{a+2}} = \sqrt{(a+2)^2 \cdot \frac{1}{a+2}}$

Упрощаем выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{(a+2)^2}{a+2}} = \sqrt{a+2}$

Ответ: $\sqrt{a+2}$

6) $(a-3)\sqrt{\frac{1}{9-3a}}$

Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение должно быть положительным (знаменатель не может быть нулем): $\frac{1}{9-3a} > 0$, что означает $9-3a > 0$.

$9 > 3a \implies 3 > a \implies a < 3$

Множитель, который мы вносим под корень, — это $(a-3)$. Поскольку $a < 3$, то $a-3 < 0$, то есть множитель отрицательный.

При внесении отрицательного множителя под знак корня, перед корнем ставится знак минус:

$(a-3)\sqrt{\frac{1}{9-3a}} = -\sqrt{(a-3)^2 \cdot \frac{1}{9-3a}}$

Упростим выражение под корнем. Заметим, что $9-3a = 3(3-a)$ и $(a-3)^2 = (-(3-a))^2 = (3-a)^2$.

$(a-3)^2 \cdot \frac{1}{9-3a} = (3-a)^2 \cdot \frac{1}{3(3-a)} = \frac{(3-a)^2}{3(3-a)} = \frac{3-a}{3}$

Таким образом, итоговое выражение:

$-\sqrt{\frac{3-a}{3}}$

Ответ: $-\sqrt{\frac{3-a}{3}}$