Номер 5, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 5, страница 11.

Условие.

5. Сократите дробь:

1) $\frac{3(a+2)^3}{(a+2)^5} = \frac{3}{ } =$

2) $\frac{5m-5n}{6m-6n} = \frac{5(m-n)}{ } =$

3) $\frac{2x-6y}{x^2-9y^2} = \frac{ }{(x-3y)(x+3y)} =$

4) $\frac{y^2-25}{2y-10} =$

5) $\frac{m^2-8mn+16n^2}{m^2-16n^2} =$

6) $\frac{p-7k}{49k^2-p^2} = -\frac{ }{(7k-p)(7k+p)} =$

7) $\frac{(x-12)^2}{36-3x} =$

8) $\frac{a^7-a^5}{a^4+a^3} =$

9) $\frac{9c^2-18c+36}{c^3+8} =$

Решение.

1) Исходная дробь: $\frac{3(a+2)^3}{(a+2)^5}$.
Для сокращения дроби воспользуемся свойством степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. В данном случае $x = (a+2)$, $m=3$, $n=5$.
$\frac{3(a+2)^3}{(a+2)^5} = 3 \cdot (a+2)^{3-5} = 3 \cdot (a+2)^{-2} = \frac{3}{(a+2)^2}$.
Ответ: $\frac{3}{(a+2)^2}$.

2) Исходная дробь: $\frac{5m - 5n}{6m - 6n}$.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе и в знаменателе.
В числителе: $5m - 5n = 5(m-n)$.
В знаменателе: $6m - 6n = 6(m-n)$.
Получим дробь: $\frac{5(m-n)}{6(m-n)}$.
Сократим общий множитель $(m-n)$, при условии, что $m \neq n$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

3) Исходная дробь: $\frac{2x - 6y}{x^2 - 9y^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки 2: $2x - 6y = 2(x - 3y)$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$.
Получим дробь: $\frac{2(x - 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)}$.
Сократим общий множитель $(x - 3y)$, при условии, что $x \neq 3y$.
Ответ: $\frac{2}{x + 3y}$.

4) Исходная дробь: $\frac{y^2 - 25}{2y - 10}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель — это разность квадратов: $y^2 - 25 = y^2 - 5^2 = (y - 5)(y + 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки 2: $2y - 10 = 2(y - 5)$.
Получим дробь: $\frac{(y - 5)(y + 5)}{2(y - 5)}$.
Сократим общий множитель $(y - 5)$, при условии, что $y \neq 5$.
Ответ: $\frac{y+5}{2}$.

5) Исходная дробь: $\frac{m^2 - 8mn + 16n^2}{m^2 - 16n^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель — это квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $m^2 - 8mn + 16n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 4n + (4n)^2 = (m - 4n)^2$.
Знаменатель — это разность квадратов: $m^2 - 16n^2 = m^2 - (4n)^2 = (m - 4n)(m + 4n)$.
Получим дробь: $\frac{(m - 4n)^2}{(m - 4n)(m + 4n)}$.
Сократим общий множитель $(m - 4n)$, при условии, что $m \neq 4n$.
Ответ: $\frac{m-4n}{m+4n}$.

6) Исходная дробь: $\frac{p - 7k}{49k^2 - p^2}$.
Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $49k^2 - p^2 = (7k)^2 - p^2 = (7k - p)(7k + p)$.
Получим дробь: $\frac{p - 7k}{(7k - p)(7k + p)}$.
В числителе вынесем -1 за скобки: $p - 7k = -(7k - p)$.
Дробь примет вид: $\frac{-(7k - p)}{(7k - p)(7k + p)}$.
Сократим общий множитель $(7k - p)$, при условии, что $7k \neq p$.
Ответ: $-\frac{1}{7k+p}$.

7) Исходная дробь: $\frac{(x-12)^2}{36 - 3x}$.
Разложим знаменатель на множители, вынеся 3 за скобки: $36 - 3x = 3(12 - x)$.
Получим дробь: $\frac{(x-12)^2}{3(12 - x)}$.
Заметим, что $x - 12 = -(12 - x)$, следовательно $(x-12)^2 = (-(12-x))^2 = (12-x)^2$.
Перепишем дробь: $\frac{(12-x)^2}{3(12-x)}$.
Сократим общий множитель $(12-x)$, при условии, что $x \neq 12$.
Ответ: $\frac{12-x}{3}$.

8) Исходная дробь: $\frac{a^7 - a^5}{a^4 + a^3}$.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
Числитель: $a^7 - a^5 = a^5(a^2 - 1)$.
Знаменатель: $a^4 + a^3 = a^3(a + 1)$.
Получим дробь: $\frac{a^5(a^2 - 1)}{a^3(a + 1)}$.
Разложим множитель $(a^2-1)$ в числителе как разность квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.
Дробь примет вид: $\frac{a^5(a-1)(a+1)}{a^3(a+1)}$.
Сократим общий множитель $(a+1)$ и степень $a$: $\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2$, при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq -1$.
Результат: $a^2(a-1)$.
Ответ: $a^2(a-1)$.

9) Исходная дробь: $\frac{9c^2 - 18c + 36}{c^3 + 8}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 9 за скобки: $9c^2 - 18c + 36 = 9(c^2 - 2c + 4)$.
Знаменатель разложим по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $c^3 + 8 = c^3 + 2^3 = (c+2)(c^2 - 2c + 4)$.
Получим дробь: $\frac{9(c^2 - 2c + 4)}{(c+2)(c^2 - 2c + 4)}$.
Сократим общий множитель $(c^2 - 2c + 4)$. Этот трехчлен не равен нулю ни при каких действительных значениях $c$.
Ответ: $\frac{9}{c+2}$.