Номер 7, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 7, страница 13.

Условие.

7. Приведите данные дроби к знаменателю $x^2y + xy^2$:

1) $\frac{1}{xy}$; 2) $\frac{y}{x^2 + xy}$; 3) $\frac{x-y}{x^2y}$; 4) $\frac{x+y}{y}$.

Решение.

Имеем: $x^2y + xy^2 = xy(x+y)$.

1) $\frac{1}{xy} = \frac{}{xy(x+y)} = \frac{}{x^2y + xy^2}$

2) $\frac{y}{x^2+xy} = \frac{y}{x(x+y)} = \frac{}{xy(x+y)} = \frac{}{x^2y + xy^2}$

Решение.

Для того чтобы привести данные дроби к знаменателю $x^2y + xy^2$, необходимо сначала разложить этот знаменатель на множители. Это поможет определить, на какое выражение (дополнительный множитель) нужно умножить числитель и знаменатель каждой из исходных дробей.

Общий знаменатель: $x^2y + xy^2 = xy(x+y)$.

1) Приводим дробь $\frac{1}{xy}$ к знаменателю $xy(x+y)$.

Текущий знаменатель дроби — $xy$. Чтобы получить требуемый знаменатель $xy(x+y)$, нужно домножить текущий знаменатель на $(x+y)$. Следовательно, дополнительный множитель для этой дроби — $(x+y)$.

Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель:

$\frac{1}{xy} = \frac{1 \cdot (x+y)}{xy \cdot (x+y)} = \frac{x+y}{x^2y + xy^2}$

Ответ: $\frac{x+y}{x^2y + xy^2}$

2) Приводим дробь $\frac{y}{x^2 + xy}$ к знаменателю $xy(x+y)$.

Сначала разложим на множители знаменатель исходной дроби: $x^2 + xy = x(x+y)$. Чтобы из знаменателя $x(x+y)$ получить требуемый знаменатель $xy(x+y)$, нужно домножить его на $y$. Следовательно, дополнительный множитель — $y$.

Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель:

$\frac{y}{x^2 + xy} = \frac{y}{x(x+y)} = \frac{y \cdot y}{x(x+y) \cdot y} = \frac{y^2}{xy(x+y)} = \frac{y^2}{x^2y + xy^2}$

Ответ: $\frac{y^2}{x^2y + xy^2}$

3) Приводим дробь $\frac{x-y}{x^2y}$ к знаменателю $xy(x+y)$.

Знаменатель данной дроби $x^2y$. Требуемый знаменатель $xy(x+y)$. В данном случае знаменатель исходной дроби не является множителем (делителем) требуемого знаменателя, так как $\frac{xy(x+y)}{x^2y} = \frac{x+y}{x}$, что не является целым выражением (многочленом). Это указывает на возможную опечатку в условии задачи.

Если же решать задачу строго по условию, то нужно найти такой числитель $N$, чтобы равенство $\frac{x-y}{x^2y} = \frac{N}{xy(x+y)}$ было верным. Выразим $N$:

$N = \frac{(x-y) \cdot xy(x+y)}{x^2y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x} = \frac{x^2-y^2}{x}$

Таким образом, результат является "двухэтажной" дробью. Обычно в таких задачах подразумевается, что дополнительный множитель — это многочлен.

Ответ: $\frac{\frac{x^2-y^2}{x}}{x^2y + xy^2}$

4) Приводим дробь $\frac{x+y}{y}$ к знаменателю $xy(x+y)$.

Текущий знаменатель дроби — $y$. Чтобы получить требуемый знаменатель $xy(x+y)$, нужно домножить текущий знаменатель на $x(x+y)$. Следовательно, дополнительный множитель — $x(x+y)$.

Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель:

$\frac{x+y}{y} = \frac{(x+y) \cdot x(x+y)}{y \cdot x(x+y)} = \frac{x(x+y)^2}{xy(x+y)} = \frac{x(x^2+2xy+y^2)}{x^2y + xy^2} = \frac{x^3+2x^2y+xy^2}{x^2y + xy^2}$

Ответ: $\frac{x^3+2x^2y+xy^2}{x^2y + xy^2}$