Номер 10, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 10, страница 14.

Условие.

10. Сократите дробь:

1) $\frac{(2a - 2b)^2}{6a - 6b} = \frac{(2(a-b))^2}{6(a-b)} =$

2) $\frac{(4x + 16y)^2}{x^2 - 16y^2} =$

3) $\frac{ab + 4a - 3b - 12}{a^2 - 6a + 9} = \frac{a(b+4) - 3( \ )}{(a-3)^2} =$

4) $\frac{m^3 + 1}{mn + n - 7m - 7} =$

5) $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ac + ab + c^2 - b^2} =$

Решение.

1) $\frac{(2a-2b)^2}{6a-6b}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $(2a-2b)^2 = (2(a-b))^2$. Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, получаем: $2^2(a-b)^2 = 4(a-b)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6a-6b = 6(a-b)$.

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{4(a-b)^2}{6(a-b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-b)$. Также сократим числовые коэффициенты 4 и 6 на 2:

$\frac{4(a-b)}{6} = \frac{2(a-b)}{3}$

Ответ: $\frac{2(a-b)}{3}$

2) $\frac{(4x+16y)^2}{x^2-16y^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки: $(4x+16y)^2 = (4(x+4y))^2 = 4^2(x+4y)^2 = 16(x+4y)^2$.

В знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2-16y^2 = x^2-(4y)^2 = (x-4y)(x+4y)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{16(x+4y)^2}{(x-4y)(x+4y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+4y)$:

$\frac{16(x+4y)}{x-4y}$

Ответ: $\frac{16(x+4y)}{x-4y}$

3) $\frac{ab+4a-3b-12}{a^2-6a+9}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе применим метод группировки: $(ab+4a) + (-3b-12) = a(b+4) - 3(b+4) = (a-3)(b+4)$.

Знаменатель является полным квадратом разности $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$: $a^2-6a+9 = a^2-2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(a-3)(b+4)}{(a-3)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-3)$:

$\frac{b+4}{a-3}$

Ответ: $\frac{b+4}{a-3}$

4) $\frac{m^3+1}{mn+n-7m-7}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $m^3+1 = m^3+1^3 = (m+1)(m^2-m+1)$.

В знаменателе применим метод группировки: $(mn+n) + (-7m-7) = n(m+1) - 7(m+1) = (n-7)(m+1)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(m+1)(m^2-m+1)}{(n-7)(m+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m+1)$:

$\frac{m^2-m+1}{n-7}$

Ответ: $\frac{m^2-m+1}{n-7}$

5) $\frac{a^2+bc-b^2+ac}{ac+ab+c^2-b^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.

В числителе сгруппируем слагаемые: $(a^2-b^2) + (ac+bc)$. Первую скобку разложим как разность квадратов, из второй вынесем общий множитель $c$: $(a-b)(a+b) + c(a+b)$. Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$: $(a+b)(a-b+c)$.

В знаменателе сгруппируем слагаемые: $(c^2-b^2) + (ac+ab)$. Первую скобку разложим как разность квадратов, из второй вынесем общий множитель $a$: $(c-b)(c+b) + a(c+b)$. Теперь вынесем общий множитель $(c+b)$: $(c+b)(c-b+a)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(a+b)(a-b+c)}{(c+b)(c-b+a)}$

Заметим, что множители $(a-b+c)$ и $(c-b+a)$ равны. Сократим дробь на этот общий множитель:

$\frac{a+b}{c+b}$

Ответ: $\frac{a+b}{b+c}$