Номер 8, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 8, страница 13.

Условие.

8. Приведите данные дроби к знаменателю $a^3 - a$:

1) $\frac{a}{a-1}$; 2) $\frac{1}{a^2 - a}$; 3) $\frac{a+2}{a^2+a}$; 4) $\frac{a-4}{a+1}$.

Решение.

Имеем: $a^3 - a = a(a^2 - 1) = $

1) $\frac{a}{a-1} = $

2) $\frac{1}{a^2 - a} = \frac{1}{a(a-1)} = $

Решение.

Чтобы привести данные дроби к знаменателю $a^3 - a$, необходимо сначала разложить этот знаменатель на множители. Это позволит определить, на какой дополнительный множитель нужно умножить числитель и знаменатель каждой из исходных дробей.

Разложим знаменатель $a^3 - a$ на множители:

$a^3 - a = a(a^2 - 1)$

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)$

Таким образом, общий знаменатель, к которому нужно привести все дроби, — это $a(a - 1)(a + 1)$.

1) $\frac{a}{a-1}$

Знаменатель этой дроби — $(a-1)$. Чтобы получить знаменатель $a(a - 1)(a + 1)$, нужно домножить исходный знаменатель на недостающие множители, то есть на $a(a+1)$. Умножим на этот дополнительный множитель и числитель, и знаменатель дроби:

$\frac{a}{a-1} = \frac{a \cdot a(a+1)}{(a-1) \cdot a(a+1)} = \frac{a^2(a+1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^3+a^2}{a^3-a}$

Ответ: $\frac{a^3+a^2}{a^3-a}$

2) $\frac{1}{a^2-a}$

Сначала разложим знаменатель дроби на множители: $a^2 - a = a(a-1)$. Сравнивая его с общим знаменателем $a(a - 1)(a + 1)$, видим, что не хватает множителя $(a+1)$. Умножим числитель и знаменатель на $(a+1)$:

$\frac{1}{a^2-a} = \frac{1}{a(a-1)} = \frac{1 \cdot (a+1)}{a(a-1) \cdot (a+1)} = \frac{a+1}{a^3-a}$

Ответ: $\frac{a+1}{a^3-a}$

3) $\frac{a+2}{a^2+a}$

Разложим знаменатель дроби на множители: $a^2 + a = a(a+1)$. Сравнивая его с общим знаменателем $a(a - 1)(a + 1)$, видим, что не хватает множителя $(a-1)$. Умножим числитель и знаменатель на $(a-1)$:

$\frac{a+2}{a^2+a} = \frac{a+2}{a(a+1)} = \frac{(a+2)(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{a^2 - a + 2a - 2}{a^3-a} = \frac{a^2+a-2}{a^3-a}$

Ответ: $\frac{a^2+a-2}{a^3-a}$

4) $\frac{a-4}{a+1}$

Знаменатель этой дроби — $(a+1)$. Чтобы получить знаменатель $a(a - 1)(a + 1)$, нужно домножить исходный знаменатель на недостающие множители, то есть на $a(a-1)$. Умножим на этот дополнительный множитель и числитель, и знаменатель дроби:

$\frac{a-4}{a+1} = \frac{(a-4) \cdot a(a-1)}{(a+1) \cdot a(a-1)} = \frac{(a^2-4a)(a-1)}{a^3-a} = \frac{a^3-a^2-4a^2+4a}{a^3-a} = \frac{a^3-5a^2+4a}{a^3-a}$

Ответ: $\frac{a^3-5a^2+4a}{a^3-a}$