Номер 11, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 11, страница 15.

Условие.

11. Найдите значение выражения:

1) $\frac{21a^2 - 14ab}{2b^2 - 3ab}$ при $a = -3, b = 10;$

Решение.

Сократим данную дробь:

$\frac{21a^2 - 14ab}{2b^2 - 3ab} = \frac{7a( \quad )}{-b( \quad )} =$

При a = -3, b = 10:

2) $\frac{25m^2 - 9n^2}{18mn^2 - 30m^2n}$ при $m = 0,2, n = -\frac{2}{3};$

Решение.

3) $\frac{(x + 2y)^2 - 25}{x^2 - 4y^2 - 5x + 10y}$ при $x = 4, y = -0,5;$

Решение.

Сократим данную дробь:

$\frac{(x + 2y)^2 - 25}{x^2 - 4y^2 - 5x + 10y} = \frac{(x + 2y - 5)( \quad )}{(x - 2y)( \quad ) - 5( \quad )} =$

4) $\frac{b^2 - 36c^2 + 7b + 42c}{(b - 6c)^2 - 49}$ при $b = -5, c = -\frac{1}{3}.$

Решение.

Решение.

1) Найдите значение выражения $\frac{21a^2 - 14ab}{2b^2 - 3ab}$ при $a = -3, b = 10$.

Сначала упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем за скобки $7a$: $21a^2 - 14ab = 7a(3a - 2b)$.

В знаменателе вынесем за скобки $b$: $2b^2 - 3ab = b(2b - 3a)$.

Получим дробь: $\frac{7a(3a - 2b)}{b(2b - 3a)}$.

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(2b - 3a) = -(3a - 2b)$.

Перепишем дробь: $\frac{7a(3a - 2b)}{-b(3a - 2b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3a - 2b)$, при условии, что он не равен нулю. Проверим: $3(-3) - 2(10) = -9 - 20 = -29 \neq 0$.

После сокращения получим: $\frac{7a}{-b} = -\frac{7a}{b}$.

Теперь подставим значения $a = -3$ и $b = 10$ в упрощенное выражение:

$-\frac{7 \cdot (-3)}{10} = -\frac{-21}{10} = \frac{21}{10} = 2,1$.

Ответ: $2,1$

2) Найдите значение выражения $\frac{25m^2 - 9n^2}{18mn^2 - 30m^2n}$ при $m = 0,2, n = -\frac{2}{3}$.

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой разность квадратов: $25m^2 - 9n^2 = (5m)^2 - (3n)^2 = (5m - 3n)(5m + 3n)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $6mn$: $18mn^2 - 30m^2n = 6mn(3n - 5m)$.

Дробь примет вид: $\frac{(5m - 3n)(5m + 3n)}{6mn(3n - 5m)}$.

Заметим, что $(5m - 3n) = -(3n - 5m)$. Сократим дробь на $(3n-5m)$, проверив, что этот множитель не равен нулю: $3(-\frac{2}{3}) - 5(0,2) = -2 - 1 = -3 \neq 0$.

$\frac{-(3n - 5m)(5m + 3n)}{6mn(3n - 5m)} = -\frac{5m + 3n}{6mn}$.

Подставим значения $m = 0,2$ и $n = -\frac{2}{3}$:

$-\frac{5 \cdot 0,2 + 3 \cdot (-\frac{2}{3})}{6 \cdot 0,2 \cdot (-\frac{2}{3})} = -\frac{1 - 2}{1,2 \cdot (-\frac{2}{3})} = -\frac{-1}{-\frac{1,2 \cdot 2}{3}} = -\frac{-1}{-\frac{2,4}{3}} = -\frac{-1}{-0,8} = -\frac{1}{0,8} = -1,25$.

Ответ: $-1,25$

3) Найдите значение выражения $\frac{(x + 2y)^2 - 25}{x^2 - 4y^2 - 5x + 10y}$ при $x = 4, y = -0,5$.

Упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.

Числитель — это разность квадратов: $(x + 2y)^2 - 5^2 = (x + 2y - 5)(x + 2y + 5)$.

Знаменатель разложим методом группировки:

$x^2 - 4y^2 - 5x + 10y = (x^2 - 4y^2) - (5x - 10y) = (x - 2y)(x + 2y) - 5(x - 2y)$.

Вынесем общий множитель $(x - 2y)$: $(x - 2y)(x + 2y - 5)$.

Дробь примет вид: $\frac{(x + 2y - 5)(x + 2y + 5)}{(x - 2y)(x + 2y - 5)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y - 5)$, проверив, что он не равен нулю: $4 + 2(-0,5) - 5 = 4 - 1 - 5 = -2 \neq 0$.

После сокращения получим: $\frac{x + 2y + 5}{x - 2y}$.

Подставим значения $x = 4$ и $y = -0,5$:

$\frac{4 + 2 \cdot (-0,5) + 5}{4 - 2 \cdot (-0,5)} = \frac{4 - 1 + 5}{4 + 1} = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: $1,6$

4) Найдите значение выражения $\frac{b^2 - 36c^2 + 7b + 42c}{(b - 6c)^2 - 49}$ при $b = -5, c = -\frac{1}{3}$.

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

Числитель разложим методом группировки:

$b^2 - 36c^2 + 7b + 42c = (b^2 - 36c^2) + (7b + 42c) = (b - 6c)(b + 6c) + 7(b + 6c)$.

Вынесем общий множитель $(b + 6c)$: $(b + 6c)(b - 6c + 7)$.

Знаменатель — это разность квадратов: $(b - 6c)^2 - 7^2 = (b - 6c - 7)(b - 6c + 7)$.

Дробь примет вид: $\frac{(b + 6c)(b - 6c + 7)}{(b - 6c - 7)(b - 6c + 7)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(b - 6c + 7)$, проверив, что он не равен нулю: $-5 - 6(-\frac{1}{3}) + 7 = -5 + 2 + 7 = 4 \neq 0$.

После сокращения получим: $\frac{b + 6c}{b - 6c - 7}$.

Подставим значения $b = -5$ и $c = -\frac{1}{3}$:

$\frac{-5 + 6 \cdot (-\frac{1}{3})}{-5 - 6 \cdot (-\frac{1}{3}) - 7} = \frac{-5 - 2}{-5 - (-2) - 7} = \frac{-7}{-5 + 2 - 7} = \frac{-7}{-10} = 0,7$.

Ответ: $0,7$