Номер 18, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби - номер 18, страница 19.

Условие.

18. Для каждого значения а решите уравнение:

1) $(a - 8)x = 7$;

Решение.

Рассмотрим два случая.

I случай: $a = 8$. Тогда получаем уравнение

II случай: $a \ne 8$.

Ответ:

если $a = 8$, то

если $a \ne 8$, то

2) $(a - 5)x = a^2 - 25$;

Решение.

Ответ:

3) $(a^2 + 2a)x = a.$

Решение.

Запишем данное уравнение в виде $a(a + 2)x = a$.

Рассмотрим

случая.

Ответ:

Решение.

1) $(a-8)x = 7$

Решение.

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a-8)$.

Рассмотрим два случая.

I случай: $a - 8 = 0$, то есть $a = 8$.

Подставив $a=8$ в исходное уравнение, получаем:

$(8-8)x = 7$

$0 \cdot x = 7$

$0 = 7$

Это равенство является неверным. Следовательно, при $a=8$ уравнение не имеет корней.

II случай: $a - 8 \neq 0$, то есть $a \neq 8$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a-8)$, так как это выражение не равно нулю.

$x = \frac{7}{a-8}$

При любом значении $a \neq 8$ уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a=8$, то корней нет; если $a \neq 8$, то $x = \frac{7}{a-8}$.

2) $(a-5)x = a^2 - 25$

Решение.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$.

Уравнение принимает вид:

$(a-5)x = (a-5)(a+5)$

Рассмотрим два случая.

I случай: $a - 5 = 0$, то есть $a = 5$.

Подставим $a=5$ в уравнение:

$(5-5)x = (5-5)(5+5)$

$0 \cdot x = 0 \cdot 10$

$0 = 0$

Это равенство является верным при любом значении $x$. Следовательно, при $a=5$ корнем уравнения является любое число.

II случай: $a - 5 \neq 0$, то есть $a \neq 5$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a-5)$:

$x = \frac{(a-5)(a+5)}{a-5}$

$x = a+5$

При любом значении $a \neq 5$ уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a=5$, то $x$ - любое число; если $a \neq 5$, то $x = a+5$.

3) $(a^2 + 2a)x = a$

Решение.

Разложим на множители коэффициент при $x$:

$a(a+2)x = a$

Рассмотрим случаи в зависимости от значения коэффициента при $x$.

I случай: $a(a+2) = 0$. Это происходит при $a=0$ или $a=-2$.

а) Если $a=0$, уравнение принимает вид:

$0 \cdot (0+2)x = 0$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Это верное равенство для любого $x$. Значит, при $a=0$ корнем является любое число.

б) Если $a=-2$, уравнение принимает вид:

$-2(-2+2)x = -2$

$0 \cdot x = -2$

$0 = -2$

Это неверное равенство. Значит, при $a=-2$ уравнение не имеет корней.

II случай: $a(a+2) \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $a \neq -2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a(a+2)$:

$x = \frac{a}{a(a+2)}$

Так как $a \neq 0$, можно сократить дробь на $a$:

$x = \frac{1}{a+2}$

При $a \neq 0$ и $a \neq -2$ уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое число; если $a=-2$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a+2}$.