Номер 4, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями - номер 4, страница 23.

Условие.

4. Заполните пропуски так, чтобы получилось тождество:

1) $\frac{a+5}{6b} + \frac{...}{6b} = \frac{2}{b};$

2) $\frac{b^2+3}{2-b} - \frac{...}{2-b} = b+2.$

Решение.

1) Чтобы заполнить пропуск и получить тождество, необходимо найти такое выражение, чтобы левая часть равенства была равна правой. Обозначим неизвестное выражение в числителе второй дроби за $X$.

Исходное уравнение: $\frac{a+5}{6b} + \frac{X}{6b} = \frac{2}{b}$

Поскольку дроби в левой части имеют одинаковый знаменатель, мы можем их сложить:

$\frac{a+5+X}{6b} = \frac{2}{b}$

Теперь приведем правую часть уравнения к тому же знаменателю, что и в левой части, то есть к $6b$. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{2}{b}$ на 6:

$\frac{2 \cdot 6}{b \cdot 6} = \frac{12}{6b}$

Теперь наше тождество выглядит так:

$\frac{a+5+X}{6b} = \frac{12}{6b}$

Для того чтобы дроби с одинаковыми знаменателями были равны, их числители также должны быть равны:

$a+5+X = 12$

Теперь найдем $X$, решив полученное уравнение:

$X = 12 - a - 5$

$X = 7 - a$

Следовательно, пропущенное выражение — это $7-a$.

Ответ: $7-a$

2) Обозначим неизвестное выражение в числителе второй дроби за $Y$.

Исходное уравнение: $\frac{b^2+3}{2-b} - \frac{Y}{2-b} = b+2$

Дроби в левой части имеют общий знаменатель, поэтому можем выполнить вычитание:

$\frac{b^2+3-Y}{2-b} = b+2$

Чтобы найти $Y$, выразим числитель $b^2+3-Y$. Для этого умножим обе части тождества на знаменатель $(2-b)$, при условии, что $2-b \neq 0$:

$b^2+3-Y = (b+2)(2-b)$

Выражение в правой части является произведением суммы и разности двух чисел, которое равно разности их квадратов. Используем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(2+b)(2-b) = 2^2 - b^2 = 4-b^2$

Подставим это в наше уравнение:

$b^2+3-Y = 4-b^2$

Теперь выразим $Y$:

$-Y = 4-b^2 - (b^2+3)$

$-Y = 4-b^2 - b^2 - 3$

$-Y = 1-2b^2$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $Y$:

$Y = -(1-2b^2) = 2b^2-1$

Следовательно, пропущенное выражение — это $2b^2-1$.

Ответ: $2b^2-1$