Номер 9, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями - номер 9, страница 25.

Условие.

9. Найдите все натуральные значения $n$, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{4n^2 - 5n - 6}{n}$

Решение.

Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражения:

$\frac{4n^2 - 5n - 6}{n} = \frac{4n^2}{n} - \frac{5n}{n} - \frac{6}{n} = 4n - 5 - \frac{6}{n}$

Выражение $4n - 5$ принимает целые значения при любом натуральном $n$. Поэтому выражение $4n - 5 - \frac{6}{n}$ принимает целые значения, если значения выражения $\frac{6}{n}$ являются целыми числами.

Это возможно только при следующих натуральных значениях $n$:

Ответ.

2) $\frac{5n^2 + 3n + 14}{n}$

Решение.

Ответ.

3) $\frac{10n + 5}{5n - 2}$

Решение.

Имеем: $\frac{10n + 5}{5n - 2} = \frac{10n - 4 + 9}{5n - 2} = \frac{10n - 4}{5n - 2} + \frac{9}{5n - 2} = \frac{2(5n - 2)}{5n - 2} + \frac{9}{5n - 2} = 2 + \frac{9}{5n - 2}$

Следовательно, данное выражение принимает целые значения, если значения выражения $\frac{9}{5n - 2}$ являются целыми числами. Это возможно, если значение выражения $5n - 2$ равно одному из делителей числа 9, то есть из чисел 1,

Имеем: $5n - 2 = 1$; $5n = 3$; $n = 0,6$ - не удовлетворяет.

Ответ.

4) $\frac{21n - 1}{7n + 1}$

Решение.

Ответ.

Решение.

1) $\frac{4n^2 - 5n - 6}{n}$

Решение.

Представим данную дробь в виде разности, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{4n^2 - 5n - 6}{n} = \frac{4n^2}{n} - \frac{5n}{n} - \frac{6}{n} = 4n - 5 - \frac{6}{n}$

Выражение $4n - 5$ является целым числом при любом натуральном значении $n$. Следовательно, чтобы все выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{6}{n}$ также принимала целые значения. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 6.

Натуральными делителями числа 6 являются: 1, 2, 3, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

2) $\frac{5n^2 + 3n + 14}{n}$

Решение.

Аналогично предыдущему пункту, разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5n^2 + 3n + 14}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{3n}{n} + \frac{14}{n} = 5n + 3 + \frac{14}{n}$

Выражение $5n + 3$ является целым числом при любом натуральном $n$. Значит, исходное выражение будет целым, если выражение $\frac{14}{n}$ будет целым числом. Это выполняется, когда $n$ является натуральным делителем числа 14.

Натуральными делителями числа 14 являются: 1, 2, 7, 14.

Ответ: 1, 2, 7, 14.

3) $\frac{10n + 5}{5n - 2}$

Решение.

Выделим целую часть дроби. Для этого представим числитель так, чтобы в нем содержалось выражение, кратное знаменателю:

$\frac{10n + 5}{5n - 2} = \frac{10n - 4 + 9}{5n - 2} = \frac{2(5n - 2) + 9}{5n - 2} = \frac{2(5n - 2)}{5n - 2} + \frac{9}{5n - 2} = 2 + \frac{9}{5n - 2}$

Так как число 2 является целым, исходное выражение будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{9}{5n - 2}$ является целым числом. Это означает, что знаменатель $5n - 2$ должен быть делителем числа 9.

Делителями числа 9 являются: $\pm1, \pm3, \pm9$.

Рассмотрим все возможные случаи для $5n-2$, учитывая, что $n$ — натуральное число:

• $5n - 2 = 1 \Rightarrow 5n = 3 \Rightarrow n = 0,6$. Не является натуральным числом.
• $5n - 2 = -1 \Rightarrow 5n = 1 \Rightarrow n = 0,2$. Не является натуральным числом.
• $5n - 2 = 3 \Rightarrow 5n = 5 \Rightarrow n = 1$. Является натуральным числом.
• $5n - 2 = -3 \Rightarrow 5n = -1 \Rightarrow n = -0,2$. Не является натуральным числом.
• $5n - 2 = 9 \Rightarrow 5n = 11 \Rightarrow n = 2,2$. Не является натуральным числом.
• $5n - 2 = -9 \Rightarrow 5n = -7 \Rightarrow n = -1,4$. Не является натуральным числом.

Единственное натуральное значение $n$, которое удовлетворяет условию, это $n = 1$.

Ответ: 1.

4) $\frac{21n - 1}{7n + 1}$

Решение.

Выделим целую часть дроби, как и в предыдущем задании:

$\frac{21n - 1}{7n + 1} = \frac{21n + 3 - 4}{7n + 1} = \frac{3(7n + 1) - 4}{7n + 1} = \frac{3(7n + 1)}{7n + 1} - \frac{4}{7n + 1} = 3 - \frac{4}{7n + 1}$

Выражение будет целым числом, если дробь $\frac{4}{7n + 1}$ будет целым числом. Для этого знаменатель $7n + 1$ должен быть делителем числа 4.

Делителями числа 4 являются: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Оценим возможные значения знаменателя $7n + 1$:

Если $n \ge 1$, то $7n \ge 7$, и, следовательно, $7n + 1 \ge 8$.

Ни один из делителей числа 4 ($\pm1, \pm2, \pm4$) не больше или равен 8. Следовательно, не существует такого натурального числа $n$, при котором выражение $7n + 1$ было бы делителем числа 4.

Ответ: таких значений нет.