Номер 3, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 3, страница 29.

Условие.

3. Выполните сложение или вычитание дробей:

1) $\frac{4a}{7a+49} + \frac{4}{a+7} = \frac{4a}{7(a+7)} + \frac{4}{a+7} =$

2) $\frac{a^2 - 4ab}{ab - 2b^2} + \frac{4b}{a - 2b} =$

3) $\frac{6}{2m-5} - \frac{4m+5}{2m^2-5m} =$

4) $\frac{1}{c^2-6c} - \frac{1}{6c-36} = \frac{1}{c(c-6)} - \frac{1}{6(c-6)} =$

5) $\frac{y+3}{xy-y^2} - \frac{x+3}{x^2-xy} =$

6) $\frac{a^2+64}{2a^2+16a} + \frac{8}{a+8} =$

Решение.

1) Для выполнения сложения приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $7a+49 = 7(a+7)$. Общий знаменатель - $7(a+7)$.

$\frac{4a}{7a+49} + \frac{4}{a+7} = \frac{4a}{7(a+7)} + \frac{4 \cdot 7}{7(a+7)} = \frac{4a+28}{7(a+7)} = \frac{4(a+7)}{7(a+7)} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

2) Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби: $ab-2b^2 = b(a-2b)$. Общий знаменатель - $b(a-2b)$.

$\frac{a^2-4ab}{ab-2b^2} + \frac{4b}{a-2b} = \frac{a(a-4b)}{b(a-2b)} + \frac{4b}{a-2b} = \frac{a^2-4ab}{b(a-2b)} + \frac{4b \cdot b}{b(a-2b)} = \frac{a^2-4ab+4b^2}{b(a-2b)}$.

Числитель является полным квадратом: $a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)^2$.

$\frac{(a-2b)^2}{b(a-2b)} = \frac{a-2b}{b}$.

Ответ: $\frac{a-2b}{b}$.

3) Разложим на множители знаменатель второй дроби: $2m^2-5m = m(2m-5)$. Общий знаменатель - $m(2m-5)$.

$\frac{6}{2m-5} - \frac{4m+5}{2m^2-5m} = \frac{6 \cdot m}{m(2m-5)} - \frac{4m+5}{m(2m-5)} = \frac{6m-(4m+5)}{m(2m-5)} = \frac{6m-4m-5}{m(2m-5)} = \frac{2m-5}{m(2m-5)} = \frac{1}{m}$.

Ответ: $\frac{1}{m}$.

4) Разложим на множители знаменатели обеих дробей: $c^2-6c = c(c-6)$ и $6c-36 = 6(c-6)$. Общий знаменатель - $6c(c-6)$.

$\frac{1}{c^2-6c} - \frac{1}{6c-36} = \frac{1}{c(c-6)} - \frac{1}{6(c-6)} = \frac{6}{6c(c-6)} - \frac{c}{6c(c-6)} = \frac{6-c}{6c(c-6)}$.

Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $6-c = -(c-6)$.

$\frac{-(c-6)}{6c(c-6)} = -\frac{1}{6c}$.

Ответ: $-\frac{1}{6c}$.

5) Разложим на множители знаменатели: $xy-y^2 = y(x-y)$ и $x^2-xy = x(x-y)$. Общий знаменатель - $xy(x-y)$.

$\frac{y+3}{xy-y^2} - \frac{x+3}{x^2-xy} = \frac{y+3}{y(x-y)} - \frac{x+3}{x(x-y)} = \frac{x(y+3)}{xy(x-y)} - \frac{y(x+3)}{xy(x-y)} = \frac{xy+3x-(xy+3y)}{xy(x-y)} = \frac{xy+3x-xy-3y}{xy(x-y)} = \frac{3x-3y}{xy(x-y)} = \frac{3(x-y)}{xy(x-y)} = \frac{3}{xy}$.

Ответ: $\frac{3}{xy}$.

6) Разложим на множители знаменатель первой дроби: $2a^2+16a = 2a(a+8)$. Общий знаменатель - $2a(a+8)$.

$\frac{a^2+64}{2a^2+16a} + \frac{8}{a+8} = \frac{a^2+64}{2a(a+8)} + \frac{8 \cdot 2a}{2a(a+8)} = \frac{a^2+64+16a}{2a(a+8)} = \frac{a^2+16a+64}{2a(a+8)}$.

Числитель является полным квадратом: $a^2+16a+64 = (a+8)^2$.

$\frac{(a+8)^2}{2a(a+8)} = \frac{a+8}{2a}$.

Ответ: $\frac{a+8}{2a}$.