Номер 9, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 9, страница 33.

Условие.

9. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной (переменных) значение выражения не зависит от значения переменной (переменных).

1) $\frac{5a-8}{4a+16} - \frac{4a-5}{3a+12} = \frac{5a-8}{4( \quad )} - \frac{4a-5}{3( \quad )} = $

2) $\frac{4}{7b+4} - \frac{7b}{14b-8} + \frac{24-14b}{49b^2 - 16} = $

3) $\frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2 - ab} - \frac{b}{a} = $

Решение.

1)Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменной $a$.
$ \frac{5a-8}{4a+16} - \frac{4a-5}{3a+12} $
Разложим знаменатели на множители:
$ 4a+16 = 4(a+4) $
$ 3a+12 = 3(a+4) $
Общий знаменатель для дробей равен $ 12(a+4) $. Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 4.
$ \frac{3(5a-8)}{12(a+4)} - \frac{4(4a-5)}{12(a+4)} = \frac{3(5a-8) - 4(4a-5)}{12(a+4)} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{15a - 24 - (16a - 20)}{12(a+4)} = \frac{15a - 24 - 16a + 20}{12(a+4)} = \frac{-a - 4}{12(a+4)} $
Вынесем в числителе -1 за скобки и сократим дробь:
$ \frac{-(a+4)}{12(a+4)} = -\frac{1}{12} $
Сокращение возможно при условии, что $ a+4 \neq 0 $, то есть $ a \neq -4 $. Это и есть область допустимых значений.
Так как в результате получилось число, значение выражения не зависит от $a$.
Ответ: $ -\frac{1}{12} $

2)Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменной $b$.
$ \frac{4}{7b+4} - \frac{7b}{14b-8} + \frac{24-14b}{49b^2-16} $
Разложим знаменатели на множители, используя вынесение общего множителя и формулу разности квадратов:
$ 14b-8 = 2(7b-4) $
$ 49b^2-16 = (7b)^2 - 4^2 = (7b-4)(7b+4) $
Общий знаменатель равен $ 2(7b-4)(7b+4) $. Приведем все дроби к общему знаменателю:
$ \frac{4 \cdot 2(7b-4)}{2(7b+4)(7b-4)} - \frac{7b(7b+4)}{2(7b-4)(7b+4)} + \frac{(24-14b) \cdot 2}{2(7b-4)(7b+4)} $
Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$ \frac{8(7b-4) - 7b(7b+4) + 2(24-14b)}{2(7b-4)(7b+4)} = \frac{56b - 32 - 49b^2 - 28b + 48 - 28b}{2(7b-4)(7b+4)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-49b^2 + (56b - 28b - 28b) + (-32 + 48)}{2(7b-4)(7b+4)} = \frac{-49b^2 + 16}{2(7b-4)(7b+4)} $
Вынесем в числителе -1 за скобки и применим формулу разности квадратов:
$ \frac{-(49b^2 - 16)}{2(7b-4)(7b+4)} = \frac{-(7b-4)(7b+4)}{2(7b-4)(7b+4)} $
Сократим дробь на $ (7b-4)(7b+4) $, что возможно при $ b \neq \pm\frac{4}{7} $.
$ -\frac{1}{2} $
Так как в результате получилось число, значение выражения не зависит от $b$.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

3)Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменных $a$ и $b$.
$ \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2-ab} - \frac{b}{a} $
Выполним действия по порядку. Сначала преобразуем первые две дроби. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $ a^2-ab = a(a-b) $.
$ \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{a \cdot a}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a(a-b)} $
Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{a(a-b)} = \frac{a+b}{a} $
Сокращение возможно при $ a \neq b $ и $ a \neq 0 $.
Теперь выполним вычитание с третьей дробью:
$ \frac{a+b}{a} - \frac{b}{a} $
Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$ \frac{a+b-b}{a} = \frac{a}{a} = 1 $
Сокращение возможно при $ a \neq 0 $.
Область допустимых значений: $ a \neq 0 $ и $ a \neq b $.
Так как в результате получилось число, значение выражения не зависит от $a$ и $b$.
Ответ: 1