Номер 3, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 3, страница 38.

Условие.

3. Упростите выражение:

1) $\frac{42xy}{19z^6} \cdot \frac{57yz^4}{35x^5} = \frac{42xy \cdot 57yz^4}{\quad} = $

2) $18a^{10} \cdot \frac{b^3}{9a^5} = \frac{18a^{10}}{1} \cdot \frac{b^3}{9a^5} = $

3) $\frac{5ab^2}{13cd^2} \cdot 26c^2d = $

4) $\frac{a^2b^3}{13m^4n^8} \cdot \left( \frac{65m^4n^7}{2ab^3} \right) = $

Решение.

1) Чтобы упростить выражение, перемножим числители и знаменатели дробей, а затем сократим полученную дробь.
$ \frac{42xy}{19z^6} \cdot \frac{57yz^4}{35x^5} = \frac{42xy \cdot 57yz^4}{19z^6 \cdot 35x^5} $
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:
$ \frac{42 \cdot 57}{19 \cdot 35} \cdot \frac{x \cdot y \cdot y \cdot z^4}{z^6 \cdot x^5} $
Сократим числовые коэффициенты: $42$ и $35$ делятся на $7$, а $57$ и $19$ делятся на $19$.
$ \frac{(6 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 19)}{19 \cdot (5 \cdot 7)} = \frac{6 \cdot 3}{5} = \frac{18}{5} $
Сократим переменные, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{x y^2 z^4}{x^5 z^6} = x^{1-5} y^2 z^{4-6} = x^{-4} y^2 z^{-2} = \frac{y^2}{x^4 z^2} $
Объединим результаты:
$ \frac{18}{5} \cdot \frac{y^2}{x^4 z^2} = \frac{18y^2}{5x^4z^2} $
Ответ: $ \frac{18y^2}{5x^4z^2} $

2) Представим $18a^{10}$ в виде дроби $ \frac{18a^{10}}{1} $ и выполним умножение.
$ 18a^{10} \cdot \frac{b^3}{9a^5} = \frac{18a^{10}b^3}{9a^5} $
Сократим коэффициенты: $ \frac{18}{9} = 2 $.
Сократим переменную $a$: $ \frac{a^{10}}{a^5} = a^{10-5} = a^5 $.
Получаем:
$ 2a^5b^3 $
Ответ: $ 2a^5b^3 $

3) Представим $26c^2d$ в виде дроби $ \frac{26c^2d}{1} $ и выполним умножение.
$ \frac{5ab^2}{13cd^2} \cdot 26c^2d = \frac{5ab^2 \cdot 26c^2d}{13cd^2} $
Сократим коэффициенты: $ \frac{26}{13} = 2 $.
Сократим переменные:
$ \frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c $
$ \frac{d}{d^2} = d^{1-2} = d^{-1} = \frac{1}{d} $
Объединим результаты:
$ 5ab^2 \cdot 2 \cdot \frac{c}{d} = \frac{10ab^2c}{d} $
Ответ: $ \frac{10ab^2c}{d} $

4) Перемножим числители и знаменатели дробей.
$ \frac{a^2b^3}{13m^4n^8} \cdot \frac{65m^4n^7}{2ab^3} = \frac{a^2b^3 \cdot 65m^4n^7}{13m^4n^8 \cdot 2ab^3} $
Сократим коэффициенты: $ \frac{65}{13} = 5 $.
Сократим переменные:
$ \frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a $
$ \frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1 $
$ \frac{m^4}{m^4} = m^{4-4} = m^0 = 1 $
$ \frac{n^7}{n^8} = n^{7-8} = n^{-1} = \frac{1}{n} $
Объединим оставшиеся множители:
$ \frac{5 \cdot a \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot n} = \frac{5a}{2n} $
Ответ: $ \frac{5a}{2n} $