Номер 6, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 6, страница 40.

Условие.

6. Упростите выражение:

1) $\frac{a-b}{c+d} \cdot \frac{b-a}{3c+3d} = \frac{a-b}{c+d} = $

2) $\frac{ab+3b^2}{ab^2+a^2b} \cdot \frac{12b+4a}{4a^3b} = \frac{b(a+ \quad )}{ab( \quad + \quad )}$

3) $\frac{x^2-25y^2}{xy} \cdot \frac{x^2-5xy}{2y} = \frac{( \quad )}{xy}$

4) $(4a^2-b^2) : \frac{6a-3b}{a+b} = \frac{4a^2-b^2}{1} \cdot$

5) $\frac{49m^3-mn^2}{5m} : (49m^2+14mn+n^2) = $

$= \frac{m(49m^2- \quad )}{5m} \cdot \frac{1}{49m^2+14mn+n^2}$

6) $\frac{b^3-b^2}{c^3+c} \cdot \frac{b-b^2}{1+c^2} = $

Решение.

1)

Данное выражение представляет собой сложную дробь. Упростить его можно, разделив числитель на знаменатель.

$\frac{\frac{a-b}{c+d} \cdot \frac{b-a}{3c+3d}}{\frac{a-b}{c+d}}$

Выполним деление, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$\left( \frac{a-b}{c+d} \cdot \frac{b-a}{3c+3d} \right) \div \frac{a-b}{c+d} = \frac{a-b}{c+d} \cdot \frac{b-a}{3c+3d} \cdot \frac{c+d}{a-b}$

Сократим одинаковые множители $\frac{a-b}{c+d}$ и $\frac{c+d}{a-b}$:

$\cancel{\left(\frac{a-b}{c+d}\right)} \cdot \frac{b-a}{3c+3d} \cdot \cancel{\left(\frac{c+d}{a-b}\right)} = \frac{b-a}{3c+3d}$

Теперь упростим полученное выражение. В числителе вынесем за скобки $-1$, а в знаменателе вынесем за скобки $3$.

$\frac{b-a}{3c+3d} = \frac{-(a-b)}{3(c+d)} = -\frac{a-b}{3(c+d)}$

Ответ: $-\frac{a-b}{3(c+d)}$

2)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{ab+3b^2}{ab^2+a^2b} : \frac{12b+4a}{4a^3b} = \frac{ab+3b^2}{ab^2+a^2b} \cdot \frac{4a^3b}{12b+4a}$

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $ab+3b^2 = b(a+3b)$
• $ab^2+a^2b = ab(b+a)$
• $12b+4a = 4(3b+a)$

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{b(a+3b)}{ab(a+b)} \cdot \frac{4a^3b}{4(a+3b)}$

Сократим общие множители:

$\frac{\cancel{b}(\cancel{a+3b})}{\cancel{a}b(a+b)} \cdot \frac{\cancel{4}a^3b}{\cancel{4}(\cancel{a+3b})} = \frac{1}{a(a+b)} \cdot \frac{a^3b}{1}$

После сокращения $b$ в первом знаменателе остался множитель $a$. Умножим оставшиеся части:

$\frac{b(a+3b)}{ab(a+b)} \cdot \frac{4a^3b}{4(a+3b)} = \frac{\cancel{b}(\cancel{a+3b})}{\cancel{a}\cancel{b}(a+b)} \cdot \frac{\cancel{4}a^{\cancel{3}2}b}{\cancel{4}(\cancel{a+3b})} = \frac{a^2b}{a+b}$

Ответ: $\frac{a^2b}{a+b}$

3)

Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели.

$\frac{x^2-25y^2}{xy} \cdot \frac{x^2-5xy}{2y}$

Разложим на множители числители дробей:

• $x^2-25y^2 = (x-5y)(x+5y)$ (по формуле разности квадратов)
• $x^2-5xy = x(x-5y)$ (вынесение общего множителя)

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{(x-5y)(x+5y)}{xy} \cdot \frac{x(x-5y)}{2y}$

Сократим общий множитель $x$ в числителе второй дроби и знаменателе первой дроби:

$\frac{(x-5y)(x+5y)}{\cancel{x}y} \cdot \frac{\cancel{x}(x-5y)}{2y} = \frac{(x-5y)(x+5y)(x-5y)}{y \cdot 2y} = \frac{(x-5y)^2(x+5y)}{2y^2}$

Ответ: $\frac{(x-5y)^2(x+5y)}{2y^2}$

4)

Чтобы разделить выражение на дробь, нужно это выражение умножить на дробь, обратную делителю.

$(4a^2-b^2) : \frac{6a-3b}{a+b} = \frac{4a^2-b^2}{1} \cdot \frac{a+b}{6a-3b}$

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе:

• $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$ (по формуле разности квадратов)
• $6a-3b = 3(2a-b)$ (вынесение общего множителя)

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{(2a-b)(2a+b)}{1} \cdot \frac{a+b}{3(2a-b)}$

Сократим общий множитель $(2a-b)$:

$\frac{\cancel{(2a-b)}(2a+b)}{1} \cdot \frac{a+b}{3\cancel{(2a-b)}} = \frac{(2a+b)(a+b)}{3}$

Ответ: $\frac{(2a+b)(a+b)}{3}$

5)

Для упрощения выражения заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{49m^3-mn^2}{5m} : (49m^2+14mn+n^2) = \frac{49m^3-mn^2}{5m} \cdot \frac{1}{49m^2+14mn+n^2}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

• $49m^3-mn^2 = m(49m^2-n^2) = m(7m-n)(7m+n)$ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов)
• $49m^2+14mn+n^2 = (7m+n)^2$ (по формуле квадрата суммы)

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{m(7m-n)(7m+n)}{5m} \cdot \frac{1}{(7m+n)^2}$

Сократим общие множители $m$ и $(7m+n)$:

$\frac{\cancel{m}(7m-n)\cancel{(7m+n)}}{5\cancel{m}(7m+n)^{\cancel{2}1}} = \frac{7m-n}{5(7m+n)}$

Ответ: $\frac{7m-n}{5(7m+n)}$

6)

Заменим деление дробей на умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

$\frac{b^3-b^2}{c^3+c} : \frac{b-b^2}{1+c^2} = \frac{b^3-b^2}{c^3+c} \cdot \frac{1+c^2}{b-b^2}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

• $b^3-b^2 = b^2(b-1)$
• $c^3+c = c(c^2+1)$
• $b-b^2 = b(1-b) = -b(b-1)$

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{b^2(b-1)}{c(c^2+1)} \cdot \frac{1+c^2}{-b(b-1)}$

Сократим общие множители $(b-1)$, $(c^2+1)$ и $b$:

$\frac{b^{\cancel{2}1}(\cancel{b-1})}{c(\cancel{c^2+1})} \cdot \frac{\cancel{1+c^2}}{-\cancel{b}(\cancel{b-1})} = \frac{b}{c \cdot (-1)} = -\frac{b}{c}$

Ответ: $-\frac{b}{c}$