Номер 9, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 9, страница 43.

Условие.

9. Впишите в прямоугольник такое выражение, чтобы образовалось тождество:

1) $ \frac{2b}{a} \cdot \square = \frac{6}{a} $

2) $ \square \cdot \frac{c^2}{10a^3b^3} = \frac{c}{2ab} $

3) $ \square \cdot \frac{n^2p^4}{m^2} = mn^2p^4 $

4) $ 6x^3y^4 \cdot \square = \frac{3y^2z^3}{5x} $

Решение.

1) Чтобы найти неизвестное выражение, которое нужно вписать в прямоугольник, обозначим его за $X$. Тогда мы получим уравнение:
$\frac{2b}{a} \cdot X = \frac{6}{a}$
Чтобы найти неизвестный множитель $X$, нужно произведение ($\frac{6}{a}$) разделить на известный множитель ($\frac{2b}{a}$):
$X = \frac{6}{a} : \frac{2b}{a}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$X = \frac{6}{a} \cdot \frac{a}{2b}$
Теперь выполним умножение и сокращение:
$X = \frac{6a}{2ab} = \frac{3}{b}$
Таким образом, в прямоугольник нужно вписать выражение $\frac{3}{b}$.
Ответ: $\frac{3}{b}$

2) Обозначим неизвестное выражение в прямоугольнике за $X$. Получаем уравнение:
$X \cdot \frac{c^2}{10a^3b^3} = \frac{c}{2ab}$
Выразим $X$, разделив правую часть на известный множитель $\frac{c^2}{10a^3b^3}$:
$X = \frac{c}{2ab} : \frac{c^2}{10a^3b^3} = \frac{c}{2ab} \cdot \frac{10a^3b^3}{c^2}$
Умножим дроби и сократим получившееся выражение:
$X = \frac{10a^3b^3c}{2abc^2}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{10}{2} = 5$.
Сокращаем переменные, используя свойства степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$X = \frac{5a^{3-1}b^{3-1}}{c^{2-1}} = \frac{5a^2b^2}{c}$
Ответ: $\frac{5a^2b^2}{c}$

3) Пусть неизвестное выражение в прямоугольнике равно $X$. Запишем тождество в виде уравнения:
$X \cdot \frac{n^2p^4}{m^2} = mn^2p^4$
Чтобы найти $X$, разделим произведение $mn^2p^4$ на известный множитель $\frac{n^2p^4}{m^2}$:
$X = mn^2p^4 : \frac{n^2p^4}{m^2} = \frac{mn^2p^4}{1} \cdot \frac{m^2}{n^2p^4}$
Сократим одинаковые множители $n^2p^4$ в числителе и знаменателе:
$X = m \cdot m^2 = m^{1+2} = m^3$
Ответ: $m^3$

4) Обозначим выражение в прямоугольнике за $X$. Получаем следующее уравнение:
$6x^3y^4 \cdot X = \frac{3y^2z^3}{5x}$
Выразим $X$ из уравнения. Для этого разделим правую часть на $6x^3y^4$:
$X = \frac{3y^2z^3}{5x} : (6x^3y^4) = \frac{3y^2z^3}{5x} \cdot \frac{1}{6x^3y^4}$
Перемножим дроби:
$X = \frac{3y^2z^3}{5x \cdot 6x^3y^4} = \frac{3y^2z^3}{30x^{1+3}y^4} = \frac{3y^2z^3}{30x^4y^4}$
Сократим полученную дробь:
$X = \frac{1 \cdot z^3}{10 \cdot x^4 \cdot y^{4-2}} = \frac{z^3}{10x^4y^2}$
Ответ: $\frac{z^3}{10x^4y^2}$