Номер 15, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 15, страница 46.

Условие.

15. Найдите значение выражения $ \frac{p(a)}{p\left(\frac{1}{a}\right)} $, если $p(a)=\left(a+\frac{7}{a}\right)\left(7a+\frac{1}{a}\right)$.

Решение.

Ответ:

Решение.

Решение.

Нам дано выражение $p(a) = \left(a + \frac{7}{a}\right)\left(7a + \frac{1}{a}\right)$.

Чтобы найти значение дроби $\frac{p(a)}{p\left(\frac{1}{a}\right)}$, сначала найдем выражение для $p\left(\frac{1}{a}\right)$. Для этого заменим каждый $a$ в исходном выражении на $\frac{1}{a}$:

$p\left(\frac{1}{a}\right) = \left(\frac{1}{a} + \frac{7}{\frac{1}{a}}\right)\left(7 \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{\frac{1}{a}}\right)$

Теперь упростим полученное выражение. Вспомним, что деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{7}{\frac{1}{a}} = 7 \cdot a = 7a$

$\frac{1}{\frac{1}{a}} = 1 \cdot a = a$

Подставим эти результаты обратно:

$p\left(\frac{1}{a}\right) = \left(\frac{1}{a} + 7a\right)\left(\frac{7}{a} + a\right)$

Используя переместительный закон сложения ($x+y=y+x$) и умножения ($x \cdot y=y \cdot x$), мы можем поменять местами слагаемые в скобках и сами скобки:

$p\left(\frac{1}{a}\right) = \left(7a + \frac{1}{a}\right)\left(a + \frac{7}{a}\right) = \left(a + \frac{7}{a}\right)\left(7a + \frac{1}{a}\right)$

Сравнив полученное выражение для $p\left(\frac{1}{a}\right)$ с исходным выражением для $p(a)$, мы видим, что они равны:

$p\left(\frac{1}{a}\right) = p(a)$

Теперь мы можем найти значение искомого выражения:

$\frac{p(a)}{p\left(\frac{1}{a}\right)} = \frac{p(a)}{p(a)} = 1$

(При условии, что $p(a) \neq 0$, что выполняется для всех действительных $a \neq 0$).

Ответ: 1