Номер 10, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 10, страница 43.

Условие.

10. Упростите выражение:

1) $\frac{5a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{11c^6} \cdot \frac{15ab}{44c^8} = \frac{5a^3 \cdot 6b^4 \cdot 44c^8}{2b^3c^3 \cdot 11c^6 \cdot 15ab}$

2) $\frac{35m^2n}{p^2} \cdot \frac{7mn^5}{6p^5} \cdot \frac{4n^4}{m^3} =$

3) $\left(\frac{3x^4y^3}{2z^8}\right)^3 : \left(\frac{3x^5y^2}{2z^4}\right)^4 = \frac{(3x^4y^3)^3}{(2z^8)^3} \cdot \frac{(3x^5y^2)^4}{(2z^4)^4} =$

4) $\left(\frac{7a^6}{b^9}\right)^5 : \left(\frac{7a^{10}}{b^{16}}\right)^3 =$

Решение.

1) Упростим выражение $ \frac{5a^3}{2b^3c^3} \cdot \frac{6b^4}{11c^6} \cdot \frac{15ab}{44c^8} $.

Сначала перемножим числители и знаменатели всех дробей:

$ \frac{5a^3 \cdot 6b^4 \cdot 15ab}{2b^3c^3 \cdot 11c^6 \cdot 44c^8} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$ \frac{5 \cdot 6 \cdot 15}{2 \cdot 11 \cdot 44} \cdot \frac{a^3 \cdot a \cdot b^4 \cdot b}{b^3 \cdot c^3 \cdot c^6 \cdot c^8} $

Упростим числовой коэффициент, сокращая общие множители:

$ \frac{5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 15}{2 \cdot 11 \cdot (4 \cdot 11)} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 15}{11 \cdot 4 \cdot 11} = \frac{225}{484} $

Упростим переменные, используя свойства степеней $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $ и $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4 $

$ \frac{b^4 \cdot b}{b^3} = \frac{b^{4+1}}{b^3} = \frac{b^5}{b^3} = b^{5-3} = b^2 $

$ \frac{1}{c^3 \cdot c^6 \cdot c^8} = \frac{1}{c^{3+6+8}} = \frac{1}{c^{17}} $

Объединим все части вместе:

$ \frac{225a^4b^2}{484c^{17}} $

Ответ: $ \frac{225a^4b^2}{484c^{17}} $

2) Упростим выражение $ \frac{35m^2n}{p^2} \cdot \frac{7mn^5}{6p^5} \cdot \frac{4n^4}{m^3} $.

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{35m^2n \cdot 7mn^5 \cdot 4n^4}{p^2 \cdot 6p^5 \cdot m^3} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{35 \cdot 7 \cdot 4}{6} \cdot \frac{(m^2 \cdot m) \cdot (n \cdot n^5 \cdot n^4)}{m^3 \cdot (p^2 \cdot p^5)} $

Упростим числовой коэффициент:

$ \frac{35 \cdot 7 \cdot 4}{6} = \frac{35 \cdot 7 \cdot 2}{3} = \frac{490}{3} $

Упростим переменные:

$ \frac{m^2 \cdot m}{m^3} = \frac{m^3}{m^3} = 1 $

$ n \cdot n^5 \cdot n^4 = n^{1+5+4} = n^{10} $

$ \frac{1}{p^2 \cdot p^5} = \frac{1}{p^{2+5}} = \frac{1}{p^7} $

Собираем все вместе:

$ \frac{490}{3} \cdot 1 \cdot \frac{n^{10}}{p^7} = \frac{490n^{10}}{3p^7} $

Ответ: $ \frac{490n^{10}}{3p^7} $

3) Упростим выражение $ (\frac{3x^4y^3}{2z^8})^3 \div (\frac{3x^5y^2}{2z^4})^4 $.

Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень, используя правило $ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $:

$ (\frac{3x^4y^3}{2z^8})^3 = \frac{3^3(x^4)^3(y^3)^3}{2^3(z^8)^3} = \frac{27x^{12}y^9}{8z^{24}} $

$ (\frac{3x^5y^2}{2z^4})^4 = \frac{3^4(x^5)^4(y^2)^4}{2^4(z^4)^4} = \frac{81x^{20}y^8}{16z^{16}} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{27x^{12}y^9}{8z^{24}} \div \frac{81x^{20}y^8}{16z^{16}} = \frac{27x^{12}y^9}{8z^{24}} \cdot \frac{16z^{16}}{81x^{20}y^8} $

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $ \frac{27 \cdot 16}{8 \cdot 81} = \frac{27}{81} \cdot \frac{16}{8} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3} $

Переменные:

$ \frac{x^{12}}{x^{20}} = x^{12-20} = x^{-8} = \frac{1}{x^8} $

$ \frac{y^9}{y^8} = y^{9-8} = y^1 = y $

$ \frac{z^{16}}{z^{24}} = z^{16-24} = z^{-8} = \frac{1}{z^8} $

Собираем упрощенные части вместе:

$ \frac{2}{3} \cdot y \cdot \frac{1}{x^8} \cdot \frac{1}{z^8} = \frac{2y}{3x^8z^8} $

Ответ: $ \frac{2y}{3x^8z^8} $

4) Упростим выражение $ (\frac{7a^6}{b^9})^5 \div (\frac{7a^{10}}{b^{16}})^3 $.

Возведем каждую дробь в степень:

$ (\frac{7a^6}{b^9})^5 = \frac{7^5(a^6)^5}{(b^9)^5} = \frac{7^5a^{30}}{b^{45}} $

$ (\frac{7a^{10}}{b^{16}})^3 = \frac{7^3(a^{10})^3}{(b^{16})^3} = \frac{7^3a^{30}}{b^{48}} $

Выполним деление дробей, заменив его на умножение на перевернутую дробь:

$ \frac{7^5a^{30}}{b^{45}} \div \frac{7^3a^{30}}{b^{48}} = \frac{7^5a^{30}}{b^{45}} \cdot \frac{b^{48}}{7^3a^{30}} $

Перегруппируем множители и сократим:

$ \frac{7^5}{7^3} \cdot \frac{a^{30}}{a^{30}} \cdot \frac{b^{48}}{b^{45}} $

Упростим каждую часть:

$ \frac{7^5}{7^3} = 7^{5-3} = 7^2 = 49 $

$ \frac{a^{30}}{a^{30}} = a^{30-30} = a^0 = 1 $

$ \frac{b^{48}}{b^{45}} = b^{48-45} = b^3 $

Перемножим полученные результаты:

$ 49 \cdot 1 \cdot b^3 = 49b^3 $

Ответ: $ 49b^3 $