Номер 4, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 4, страница 39.

Условие.

4. Выполните умножение:

1) $\frac{xy+y^2}{48x} \cdot \frac{6x}{x+y} = \frac{y(x+y)}{48x} \cdot \frac{6x}{x+y} =$

2) $\frac{a^2-64b^2}{5a^2} \cdot \frac{a}{5a-40b} = \frac{(a-8b)( )}{5a^2} \cdot \frac{a}{5( )} =$

3) $(a+9) \cdot \frac{a}{3a+27} = \frac{a+9}{1} =$

4) $\frac{8}{m^2-14mn+49n^2} \cdot (m^2 - 49n^2) =$

Решение.

1) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{xy + y^2}{48x} \cdot \frac{6x}{x+y}$, сначала упростим выражения в числителях и знаменателях, разложив их на множители.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $y$ за скобки: $xy + y^2 = y(x+y)$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{y(x+y)}{48x} \cdot \frac{6x}{x+y}$.
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $(x+y)$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Множитель $x$ также сокращается. Числа 6 и 48 сокращаются на 6, в знаменателе остается 8.
$\frac{y \cdot \cancel{(x+y)}}{\cancel{48}^{\,8} \cdot \cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{6} \cdot \cancel{x}}{\cancel{(x+y)}} = \frac{y}{8}$.
Ответ: $\frac{y}{8}$

2) Чтобы выполнить умножение дробей $\frac{a^2 - 64b^2}{5a^2} \cdot \frac{a}{5a - 40b}$, разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй.
Числитель первой дроби $a^2 - 64b^2$ — это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^2 - (8b)^2 = (a-8b)(a+8b)$.
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 5 за скобки: $5a - 40b = 5(a-8b)$.
Подставим разложенные выражения в исходное: $\frac{(a-8b)(a+8b)}{5a^2} \cdot \frac{a}{5(a-8b)}$.
Сократим общие множители. Множитель $(a-8b)$ сокращается. Также сокращаем на $a$: в числителе $a$ уходит, а в знаменателе $a^2$ превращается в $a$.
$\frac{\cancel{(a-8b)}(a+8b)}{5a^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}}{5\cancel{(a-8b)}} = \frac{a+8b}{5a \cdot 5} = \frac{a+8b}{25a}$.
Ответ: $\frac{a+8b}{25a}$

3) Чтобы выполнить умножение $(a+9) \cdot \frac{a}{3a+27}$, представим первый множитель в виде дроби и разложим на множители знаменатель второй дроби.
Представим $(a+9)$ как $\frac{a+9}{1}$.
В знаменателе $3a+27$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a+9)$.
Выражение принимает вид: $\frac{a+9}{1} \cdot \frac{a}{3(a+9)}$.
Сократим общий множитель $(a+9)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{\cancel{a+9}}{1} \cdot \frac{a}{3(\cancel{a+9})} = \frac{a}{3}$.
Ответ: $\frac{a}{3}$

4) Чтобы выполнить умножение $\frac{8}{m^2 - 14mn + 49n^2} \cdot (m^2 - 49n^2)$, разложим на множители знаменатель первой дроби и второй множитель.
Знаменатель $m^2 - 14mn + 49n^2$ — это полный квадрат разности, который сворачивается по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$: $m^2 - 2 \cdot m \cdot (7n) + (7n)^2 = (m-7n)^2$.
Второй множитель $m^2 - 49n^2$ — это разность квадратов: $m^2 - (7n)^2 = (m-7n)(m+7n)$.
Подставим разложенные выражения в исходное, представив второй множитель в виде дроби: $\frac{8}{(m-7n)^2} \cdot \frac{(m-7n)(m+7n)}{1}$.
Сократим общий множитель $(m-7n)$. В знаменателе останется $(m-7n)$ в первой степени.
$\frac{8}{(m-7n)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(m-7n)}(m+7n)}{1} = \frac{8(m+7n)}{m-7n}$.
Ответ: $\frac{8(m+7n)}{m-7n}$