Номер 12, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 12, страница 37.

Условие.

12. Известно, что $a + b = \frac{2}{3}$. Найдите значение выражения $\frac{4}{a+b} - \frac{5}{a-b} - \frac{10b}{b^2 - a^2}$.

Решение.

Упростим данное выражение:

$\frac{4}{a+b} - \frac{5}{a-b} - \frac{10b}{b^2 - a^2} =$

Ответ:

Решение.

Решение.

Упростим данное выражение:

$\frac{4}{a+b} - \frac{5}{a-b} - \frac{10b}{b^2 - a^2}$

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель третьей дроби $b^2 - a^2$ на множители, используя формулу разности квадратов: $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$.

Выражение примет вид:

$\frac{4}{a+b} - \frac{5}{a-b} - \frac{10b}{(b-a)(b+a)}$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Используем это для приведения к общему знаменателю $(a+b)(a-b)$:

$\frac{4}{a+b} - \frac{5}{a-b} - \frac{10b}{-(a-b)(a+b)} = \frac{4}{a+b} - \frac{5}{a-b} + \frac{10b}{(a-b)(a+b)}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b)$:

$\frac{4(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{5(a+b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{10b}{(a+b)(a-b)}$

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$\frac{4(a-b) - 5(a+b) + 10b}{(a+b)(a-b)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$4a - 4b - 5a - 5b + 10b = (4a - 5a) + (-4b - 5b + 10b) = -a + b = b-a$

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{b-a}{(a+b)(a-b)}$

Сократим дробь, вынеся $-1$ за скобки в числителе: $b-a = -(a-b)$.

$\frac{-(a-b)}{(a+b)(a-b)} = -\frac{1}{a+b}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него известное значение $a+b = \frac{2}{3}$:

$-\frac{1}{a+b} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -1 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$