Номер 8, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями - номер 8, страница 32.

Условие.

8. Упростите выражение:

1) $ \frac{a^2+4}{a^2-4a+4} + \frac{a+2}{a-2} = \frac{a^2+4}{(a-2)^2} + \frac{a+2}{a-2} = $

2) $ \frac{6c+15}{36c^2-1} - \frac{3c+4}{18c^2+3c} = \frac{6c+15}{(6c-1)(6c+1)} - \frac{3c+4}{3c()} $

3) $ \frac{2}{3x} - \frac{6x+32}{64-9x^2} - \frac{4}{3x-8} = \frac{2}{3x} + \frac{6x+32}{9x^2-64} - \frac{4}{3x-8} = $

4) $ \frac{m}{m+3} - 1 - \frac{15-m}{m^2-9} = $

5) $ a^2-6a+36 - \frac{a^3-216}{a+6} = $

6) $ \frac{2(2b+5)^2}{(2b-5)^2} - \frac{3}{(2b+5)^2} + \frac{1}{4b^2-25} = $

Решение.

1) $\frac{a^2 + 4}{a^2 - 4a + 4} + \frac{a + 2}{a - 2}$
Разложим знаменатель первой дроби на множители. Выражение $a^2 - 4a + 4$ является полным квадратом: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.
Исходное выражение принимает вид:
$\frac{a^2 + 4}{(a-2)^2} + \frac{a + 2}{a - 2}$
Общий знаменатель для этих дробей - $(a-2)^2$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(a-2)$:
$\frac{a^2 + 4}{(a-2)^2} + \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)(a - 2)} = \frac{a^2 + 4 + (a + 2)(a - 2)}{(a-2)^2}$
В числителе используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, поэтому $(a+2)(a-2) = a^2 - 4$:
$\frac{a^2 + 4 + a^2 - 4}{(a-2)^2} = \frac{2a^2}{(a-2)^2}$
Ответ: $\frac{2a^2}{(a-2)^2}$

2) $\frac{6c + 15}{36c^2 - 1} - \frac{3c + 4}{18c^2 + 3c}$
Разложим знаменатели на множители.
Первый знаменатель $36c^2 - 1$ — это разность квадратов: $(6c)^2 - 1^2 = (6c-1)(6c+1)$.
Во втором знаменателе $18c^2 + 3c$ вынесем общий множитель $3c$ за скобки: $3c(6c+1)$.
Выражение принимает вид:
$\frac{6c + 15}{(6c-1)(6c+1)} - \frac{3c + 4}{3c(6c+1)}$
Общий знаменатель: $3c(6c-1)(6c+1)$.
Приводим дроби к общему знаменателю, домножая числители на недостающие множители:
$\frac{(6c + 15) \cdot 3c}{3c(6c-1)(6c+1)} - \frac{(3c + 4)(6c-1)}{3c(6c-1)(6c+1)}$
Объединяем под общей чертой:
$\frac{3c(6c + 15) - (3c + 4)(6c-1)}{3c(6c-1)(6c+1)}$
Раскрываем скобки в числителе:
$3c(6c+15) = 18c^2 + 45c$
$(3c+4)(6c-1) = 18c^2 - 3c + 24c - 4 = 18c^2 + 21c - 4$
$\frac{18c^2 + 45c - (18c^2 + 21c - 4)}{3c(6c-1)(6c+1)} = \frac{18c^2 + 45c - 18c^2 - 21c + 4}{3c(6c-1)(6c+1)}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{24c + 4}{3c(6c-1)(6c+1)}$
Выносим общий множитель 4 в числителе:
$\frac{4(6c + 1)}{3c(6c-1)(6c+1)}$
Сокращаем дробь на $(6c+1)$:
$\frac{4}{3c(6c-1)}$
Ответ: $\frac{4}{3c(6c-1)}$

3) $\frac{2}{3x} - \frac{6x + 32}{64 - 9x^2} - \frac{4}{3x - 8}$
Разложим знаменатели на множители и преобразуем знаки для удобства.
$64 - 9x^2 = (8-3x)(8+3x)$.
$3x-8 = -(8-3x)$, поэтому $-\frac{4}{3x-8} = -\frac{4}{-(8-3x)} = +\frac{4}{8-3x}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2}{3x} - \frac{6x + 32}{(8-3x)(8+3x)} + \frac{4}{8-3x}$
Общий знаменатель: $3x(8-3x)(8+3x)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{2(8-3x)(8+3x)}{3x(8-3x)(8+3x)} - \frac{(6x+32) \cdot 3x}{3x(8-3x)(8+3x)} + \frac{4 \cdot 3x(8+3x)}{3x(8-3x)(8+3x)}$
Объединяем числители:
$\frac{2(64-9x^2) - 3x(6x+32) + 12x(8+3x)}{3x(64-9x^2)}$
Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{128 - 18x^2 - 18x^2 - 96x + 96x + 36x^2}{3x(64-9x^2)}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{128 + (-18x^2 - 18x^2 + 36x^2) + (-96x + 96x)}{3x(64-9x^2)} = \frac{128}{3x(64-9x^2)}$
Ответ: $\frac{128}{3x(64-9x^2)}$

4) $\frac{m}{m+3} - 1 - \frac{15-m}{m^2-9}$
Представим 1 как дробь $\frac{1}{1}$ и разложим знаменатель третьей дроби на множители по формуле разности квадратов: $m^2-9 = (m-3)(m+3)$.
$\frac{m}{m+3} - \frac{1}{1} - \frac{15-m}{(m-3)(m+3)}$
Общий знаменатель: $(m-3)(m+3)$.
Приводим все дроби к общему знаменателю:
$\frac{m(m-3)}{(m-3)(m+3)} - \frac{1 \cdot (m-3)(m+3)}{(m-3)(m+3)} - \frac{15-m}{(m-3)(m+3)}$
Объединяем числители под общей чертой:
$\frac{m(m-3) - (m^2-9) - (15-m)}{(m-3)(m+3)}$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе:
$\frac{m^2 - 3m - m^2 + 9 - 15 + m}{m^2-9} = \frac{(m^2-m^2) + (-3m+m) + (9-15)}{m^2-9}$
$\frac{-2m - 6}{m^2-9} = \frac{-2(m+3)}{(m-3)(m+3)}$
Сокращаем дробь на $(m+3)$:
$\frac{-2}{m-3}$
Ответ: $\frac{-2}{m-3}$

5) $a^2 - 6a + 36 - \frac{a^3 - 216}{a+6}$
Чтобы выполнить вычитание, приведем выражение $a^2 - 6a + 36$ к общему знаменателю $(a+6)$:
$\frac{(a^2 - 6a + 36)(a+6)}{a+6} - \frac{a^3 - 216}{a+6}$
В числителе первой дроби мы видим произведение, соответствующее формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В нашем случае, $(a+6)(a^2-6a+36) = a^3+6^3 = a^3+216$.
Подставим это в выражение:
$\frac{a^3 + 216}{a+6} - \frac{a^3 - 216}{a+6}$
Теперь вычтем дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(a^3 + 216) - (a^3 - 216)}{a+6} = \frac{a^3 + 216 - a^3 + 216}{a+6}$
$\frac{432}{a+6}$
Ответ: $\frac{432}{a+6}$

6) $\frac{2}{(2b-5)^2} - \frac{3}{(2b+5)^2} + \frac{1}{4b^2-25}$
Разложим на множители знаменатель третьей дроби по формуле разности квадратов: $4b^2-25 = (2b-5)(2b+5)$.
Выражение принимает вид:
$\frac{2}{(2b-5)^2} - \frac{3}{(2b+5)^2} + \frac{1}{(2b-5)(2b+5)}$
Общий знаменатель для всех дробей: $(2b-5)^2(2b+5)^2$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{2(2b+5)^2}{(2b-5)^2(2b+5)^2} - \frac{3(2b-5)^2}{(2b-5)^2(2b+5)^2} + \frac{1(2b-5)(2b+5)}{(2b-5)^2(2b+5)^2}$
Объединим числители. Знаменатель можно записать как $((2b-5)(2b+5))^2 = (4b^2-25)^2$.
$\frac{2(4b^2+20b+25) - 3(4b^2-20b+25) + (4b^2-25)}{(4b^2-25)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{8b^2+40b+50 - 12b^2+60b-75 + 4b^2-25}{(4b^2-25)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(8b^2-12b^2+4b^2) + (40b+60b) + (50-75-25)}{(4b^2-25)^2}$
$\frac{0 \cdot b^2 + 100b - 50}{(4b^2-25)^2} = \frac{100b-50}{(4b^2-25)^2}$
Можно также вынести общий множитель 50 в числителе: $\frac{50(2b-1)}{(4b^2-25)^2}$.
Ответ: $\frac{100b-50}{(4b^2-25)^2}$