Номер 2, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 2, страница 38.

Условие.

Решаем задачи

2. В квадрате возле равенства поставьте знак «+», если это равенство является тождеством, или знак «-», если оно не является тождеством.

1) $\frac{3}{2a^3} \cdot \frac{4a^5}{9} = \frac{2a^2}{3}$

2) $\frac{7}{x} \cdot \frac{8x}{21} = \frac{8}{3}$

3) $\frac{16a^4b}{33} \cdot \frac{11a}{8b^3} = \frac{2a^5b^2}{3}$

4) $\frac{m^5}{n^6} \cdot \frac{n^3}{m^5} = n^3$

Решение.

1) Проверим, является ли равенство $ \frac{3}{2a^3} \cdot \frac{4a^5}{9} = \frac{2a^2}{3} $ тождеством. Для этого упростим левую часть равенства.
Выполним умножение дробей:
$ \frac{3}{2a^3} \cdot \frac{4a^5}{9} = \frac{3 \cdot 4a^5}{2a^3 \cdot 9} = \frac{12a^5}{18a^3} $
Сократим числовой коэффициент: $ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $.
Сократим степени переменной a, используя свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2 $.
В результате упрощения левой части получаем: $ \frac{2a^2}{3} $.
Сравниваем результат с правой частью равенства: $ \frac{2a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} $.
Так как левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменной ($ a \neq 0 $), данное равенство является тождеством.
Ответ: +

2) Проверим, является ли равенство $ \frac{7}{x} \cdot \frac{8x}{21} = \frac{8}{3} $ тождеством. Упростим левую часть.
Выполним умножение дробей:
$ \frac{7}{x} \cdot \frac{8x}{21} = \frac{7 \cdot 8x}{x \cdot 21} $
Сократим дробь на x (при $ x \neq 0 $) и на общий делитель 7:
$ \frac{7 \cdot 8 \cdot x}{21 \cdot x} = \frac{56}{21} = \frac{8 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{8}{3} $
Сравниваем результат с правой частью: $ \frac{8}{3} = \frac{8}{3} $.
Равенство верно при всех допустимых значениях переменной ($ x \neq 0 $), следовательно, это тождество.
Ответ: +

3) Проверим, является ли равенство $ \frac{16a^4b}{33} \cdot \frac{11a}{8b^3} = \frac{2a^5b^2}{3} $ тождеством. Упростим левую часть.
$ \frac{16a^4b}{33} \cdot \frac{11a}{8b^3} = \frac{16 \cdot 11 \cdot a^4 \cdot a \cdot b}{33 \cdot 8 \cdot b^3} $
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{16}{8} = 2 $ и $ \frac{11}{33} = \frac{1}{3} $. Получаем коэффициент $ \frac{2}{3} $.
Упростим степени переменных: $ a^4 \cdot a = a^{4+1} = a^5 $ и $ \frac{b}{b^3} = b^{1-3} = b^{-2} = \frac{1}{b^2} $.
Собираем все вместе: $ \frac{2}{3} \cdot a^5 \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{2a^5}{3b^2} $.
Сравниваем полученное выражение с правой частью равенства: $ \frac{2a^5}{3b^2} \neq \frac{2a^5b^2}{3} $.
Так как левая и правая части не равны, данное равенство не является тождеством.
Ответ: ↔

4) Проверим, является ли равенство $ \frac{m^5}{n^6} \cdot \frac{n^3}{m^5} = n^3 $ тождеством. Упростим левую часть.
$ \frac{m^5}{n^6} \cdot \frac{n^3}{m^5} = \frac{m^5 \cdot n^3}{n^6 \cdot m^5} $
Сократим дробь на $ m^5 $ (при $ m \neq 0 $): $ \frac{n^3}{n^6} $.
Упростим степень переменной n: $ \frac{n^3}{n^6} = n^{3-6} = n^{-3} = \frac{1}{n^3} $.
Сравниваем результат с правой частью равенства: $ \frac{1}{n^3} \neq n^3 $.
Левая и правая части не равны, следовательно, данное равенство не является тождеством.
Ответ: ↔