Номер 7, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 7, страница 41.

Условие.

7. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{9b^2}{a-b} \cdot \frac{a^2-ab}{72b}$ при $a = 90, b = 6,4;$

Решение.

Ответ:

2) $\frac{a-8b}{a} : \frac{ab-8b^2}{a^2}$ при $a = 27, b = 45;$

Решение.

Ответ:

3) $(x+5) : \frac{x^2+10x+25}{x-5}$ при $x = -13;$

Решение.

Ответ:

4) $\frac{a^2-81b^2}{a^2} : \frac{ab-9b^2}{a}$ при $a = 27, b = 6.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) Упростите выражение $ \frac{9b^2}{a-b} \cdot \frac{a^2 - ab}{72b} $ и найдите его значение при $ a = 90, b = 6,4 $.

Сначала упростим выражение. Для этого разложим числитель второй дроби на множители, вынеся общий множитель $ a $ за скобки: $ a^2 - ab = a(a-b) $.

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{9b^2}{a-b} \cdot \frac{a(a-b)}{72b} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $ (a-b) $. Сокращаем $ 9 $ и $ 72 $, остается $ 8 $ в знаменателе. Сокращаем $ b $ и $ b^2 $, остается $ b $ в числителе.

Получаем упрощенное выражение:

$ \frac{b \cdot a}{8} = \frac{ab}{8} $

Теперь подставим в него значения $ a = 90 $ и $ b = 6,4 $:

$ \frac{90 \cdot 6,4}{8} = 90 \cdot \frac{6,4}{8} = 90 \cdot 0,8 = 72 $

Ответ: 72

2) Упростите выражение $ \frac{a-8b}{a} : \frac{ab-8b^2}{a^2} $ и найдите его значение при $ a = 27, b = 45 $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{a-8b}{a} \cdot \frac{a^2}{ab-8b^2} $

Вынесем общий множитель $ b $ в знаменателе второй дроби: $ ab-8b^2 = b(a-8b) $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a-8b}{a} \cdot \frac{a^2}{b(a-8b)} $

Сократим общие множители $ (a-8b) $ и $ a $:

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} $

Подставим значения $ a = 27 $ и $ b = 45 $:

$ \frac{27}{45} $

Сократим дробь на 9:

$ \frac{27:9}{45:9} = \frac{3}{5} = 0,6 $

Ответ: 0,6

3) Упростите выражение $ (x+5) : \frac{x^2 + 10x + 25}{x-5} $ и найдите его значение при $ x = -13 $.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ (x+5) \cdot \frac{x-5}{x^2 + 10x + 25} $

Знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $ x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 $.

Подставим это в выражение:

$ \frac{x+5}{1} \cdot \frac{x-5}{(x+5)^2} $

Сократим общий множитель $ (x+5) $:

$ \frac{x-5}{x+5} $

Подставим значение $ x = -13 $ в упрощенное выражение:

$ \frac{-13-5}{-13+5} = \frac{-18}{-8} = \frac{18}{8} $

Сократим дробь на 2 и преобразуем в десятичную:

$ \frac{9}{4} = 2,25 $

Ответ: 2,25

4) Упростите выражение $ \frac{a^2 - 81b^2}{a^2} : \frac{ab - 9b^2}{a} $ и найдите его значение при $ a = 27, b = 6 $.

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{a^2 - 81b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{ab - 9b^2} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $: $ a^2 - 81b^2 = (a-9b)(a+9b) $.

Разложим знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $ b $: $ ab - 9b^2 = b(a-9b) $.

Выражение примет вид:

$ \frac{(a-9b)(a+9b)}{a^2} \cdot \frac{a}{b(a-9b)} $

Сократим общие множители $ (a-9b) $ и $ a $:

$ \frac{a+9b}{a \cdot b} = \frac{a+9b}{ab} $

Подставим значения $ a = 27 $ и $ b = 6 $:

$ \frac{27 + 9 \cdot 6}{27 \cdot 6} = \frac{27 + 54}{162} = \frac{81}{162} $

Сократим дробь:

$ \frac{81}{162} = \frac{1}{2} = 0,5 $

Ответ: 0,5