Номер 13, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 13, страница 45.

Условие.

13. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{5x^2 - 20x + 20}{x^2 - 4}\right)^4 : \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^4 = 625;$

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$\left(\frac{5x^2 - 20x + 20}{x^2 - 4}\right)^4 : \left(\frac{x - 2}{x + 2}\right)^4 =$

2) $\frac{a^3 - 3a^2b + 9ab^2}{b} \cdot \frac{ab + 3b^2}{a^2 - b^2} : \frac{a^4 + 27ab^3}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{a^2 + 3b + 3a + ab}{ab - b^2 - a + b} \cdot \frac{a + 3}{b - 1}$

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$\frac{a^3 - 3a^2b + 9ab^2}{b^2} \cdot \frac{ab + 3b^2}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a^4 + 27ab^3}{a^2 + 2ab + b^2} =$

Преобразуем правую часть данного равенства:

$\frac{a^2 + 3b + 3a + ab}{ab - b^2 - a + b} \cdot \frac{a + 3}{b - 1} =$

Решение.

1)

Преобразуем левую часть тождества. Так как основания степеней делятся, а показатели степеней одинаковы, можно сначала разделить основания, а затем возвести результат в степень:

$(\frac{5x^2 - 20x + 20}{x^2 - 4} : \frac{x-2}{x+2})^4$

Упростим выражение в скобках. Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

$\frac{5x^2 - 20x + 20}{x^2 - 4} \cdot \frac{x+2}{x-2} = \frac{5(x^2 - 4x + 4)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x-2} = \frac{5(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x-2}$

Сократим дроби (при $x \neq \pm 2$):

$\frac{5(x-2)^{\cancel{2}}}{(\cancel{x-2})(\cancel{x+2})} \cdot \frac{\cancel{x+2}}{\cancel{x-2}} = 5$

Теперь возведем полученный результат в четвертую степень:

$5^4 = 625$

Получили, что левая часть равна правой ($625 = 625$). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части (ЛХС):

$\frac{a^3 - 3a^2b + 9ab^2}{b} \cdot \frac{ab + 3b^2}{a^2 - b^2} : \frac{a^4 + 27ab^3}{a^2 + 2ab + b^2}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим выражения на множители:

$a^3 - 3a^2b + 9ab^2 = a(a^2 - 3ab + 9b^2)$

$ab + 3b^2 = b(a+3b)$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

$a^4 + 27ab^3 = a(a^3 + 27b^3) = a(a^3 + (3b)^3) = a(a+3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$

Подставим разложения в левую часть и выполним сокращение:

$\frac{a(a^2 - 3ab + 9b^2)}{b} \cdot \frac{b(a+3b)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{a(a+3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)} = $

$= \frac{\cancel{a}(\cancel{a^2 - 3ab + 9b^2})}{\cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{b}(\cancel{a+3b})}{(a-b)(\cancel{a+b})} \cdot \frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}(\cancel{a+3b})(\cancel{a^2 - 3ab + 9b^2})} = \frac{a+b}{a-b}$

Итак, ЛХС = $\frac{a+b}{a-b}$.

Преобразование правой части (ПХС):

$\frac{a^2 + 3b + 3a + ab}{ab - b^2 - a + b} : \frac{a+3}{b-1}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби методом группировки:

Числитель: $a^2 + 3b + 3a + ab = (a^2 + 3a) + (ab + 3b) = a(a+3) + b(a+3) = (a+b)(a+3)$.

Знаменатель: $ab - b^2 - a + b = (ab - b^2) - (a - b) = b(a-b) - 1(a-b) = (b-1)(a-b)$.

Подставим разложения, заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{(a+b)(a+3)}{(b-1)(a-b)} \cdot \frac{b-1}{a+3} = \frac{(a+b)(\cancel{a+3})}{(\cancel{b-1})(a-b)} \cdot \frac{\cancel{b-1}}{\cancel{a+3}} = \frac{a+b}{a-b}$

Итак, ПХС = $\frac{a+b}{a-b}$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению ($\frac{a+b}{a-b}$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.