Номер 11, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 11, страница 43.

Условие.

11. Упростите выражение:

1) $ \frac{6a^2 - 6b^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{7b^2 + 7a^2}{9b - 9a} = \frac{6(}{a^2 + b^2} \cdot \frac{) 7(}{9(} \quad ) = $

2) $ \frac{a^3 + 8b^3}{a^2 - 4b^2} \cdot \frac{2b - a}{4b^2 - 2ab + a^2} = $

3) $ \frac{2x^3 - 72x}{4x} : (3x^2 - 36x + 108) = $

$ = \frac{2x(}{4x} : \frac{) \cdot 3(}{1} \quad ) = $

4) $ \frac{m^2 - 1}{c^2 - 8c + 16} \cdot \frac{m^2 + 2m + 1}{4 - c} = $

Решение.

1) Исходное выражение: $ \frac{6a^2 - 6b^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{7b^2 + 7a^2}{9b - 9a} $
Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
В числителе первой дроби вынесем общий множитель 6 и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$6a^2 - 6b^2 = 6(a^2 - b^2) = 6(a-b)(a+b)$
В числителе второй дроби вынесем общий множитель 7:
$7b^2 + 7a^2 = 7(b^2 + a^2) = 7(a^2 + b^2)$
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 9:
$9b - 9a = 9(b - a) = -9(a - b)$
Подставим полученные выражения в исходное:
$ \frac{6(a-b)(a+b)}{a^2 + b^2} \cdot \frac{7(a^2 + b^2)}{-9(a - b)} $
Сократим общие множители $(a-b)$ и $(a^2 + b^2)$:
$ \frac{6(a+b)}{1} \cdot \frac{7}{-9} = \frac{42(a+b)}{-9} $
Сократим дробь $\frac{42}{-9}$ на 3:
$ -\frac{14(a+b)}{3} $
Ответ: $ -\frac{14(a+b)}{3} $

2) Исходное выражение: $ \frac{a^3 + 8b^3}{a^2 - 4b^2} \cdot \frac{2b - a}{4b^2 - 2ab + a^2} $
Разложим на множители числители и знаменатели дробей.
Числитель первой дроби — это сумма кубов $a^3 + (2b)^3 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.
Знаменатель первой дроби — это разность квадратов $a^2 - (2b)^2 = (a-2b)(a+2b)$.
Числитель второй дроби: $2b - a = -(a - 2b)$.
Знаменатель второй дроби: $4b^2 - 2ab + a^2 = a^2 - 2ab + 4b^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$ \frac{(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{-(a - 2b)}{a^2 - 2ab + 4b^2} $
Сократим общие множители $(a+2b)$, $(a-2b)$ и $(a^2 - 2ab + 4b^2)$:
$ \frac{\cancel{(a+2b)}\cancel{(a^2 - 2ab + 4b^2)}}{\cancel{(a-2b)}\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{-(\cancel{a - 2b})}{\cancel{a^2 - 2ab + 4b^2}} = \frac{1}{1} \cdot (-1) = -1 $
Ответ: -1

3) Исходное выражение: $ \frac{2x^3 - 72x}{4x} : (3x^2 - 36x + 108) $
Заменим деление умножением на обратное выражение:
$ \frac{2x^3 - 72x}{4x} \cdot \frac{1}{3x^2 - 36x + 108} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби.
$2x^3 - 72x = 2x(x^2 - 36) = 2x(x-6)(x+6)$ (вынесение общего множителя и разность квадратов).
$3x^2 - 36x + 108 = 3(x^2 - 12x + 36) = 3(x-6)^2$ (вынесение общего множителя и формула квадрата разности).
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{2x(x-6)(x+6)}{4x} \cdot \frac{1}{3(x-6)^2} $
Объединим в одну дробь и сократим общие множители $x$ и $(x-6)$:
$ \frac{2x(x-6)(x+6)}{4x \cdot 3(x-6)^2} = \frac{2\cancel{x}\cancel{(x-6)}(x+6)}{12\cancel{x}(x-6)^{\cancel{2}}} = \frac{2(x+6)}{12(x-6)} $
Сократим числовой коэффициент $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$:
$ \frac{x+6}{6(x-6)} $
Ответ: $ \frac{x+6}{6(x-6)} $

4) Исходное выражение: $ \frac{m^2 - 1}{c^2 - 8c + 16} \cdot \frac{m^2 + 2m + 1}{4 - c} $
Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения.
$m^2 - 1 = (m-1)(m+1)$ (разность квадратов).
$c^2 - 8c + 16 = (c-4)^2$ (квадрат разности).
$m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2$ (квадрат суммы).
$4 - c = -(c - 4)$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$ \frac{(m-1)(m+1)}{(c-4)^2} \cdot \frac{(m+1)^2}{-(c-4)} $
Перемножим числители и знаменатели:
$ \frac{(m-1)(m+1)(m+1)^2}{-(c-4)^2(c-4)} $
Сгруппируем степени одинаковых оснований:
$ \frac{(m-1)(m+1)^{1+2}}{-(c-4)^{2+1}} = \frac{(m-1)(m+1)^3}{-(c-4)^3} = -\frac{(m-1)(m+1)^3}{(c-4)^3} $
Ответ: $ -\frac{(m-1)(m+1)^3}{(c-4)^3} $