Номер 17, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень - номер 17, страница 47.

Условие.

17. Известно, что $4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$. Найдите значение выражения $2x + \frac{3}{x}$.

Решение.

Выделим из выражения $4x^2 + \frac{9}{x^2}$ квадрат суммы:

$4x^2 + \frac{9}{x^2} = \left(2x + \frac{3}{x}\right)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{3}{x} = \left(2x + \frac{3}{x}\right)^2 - 12$.

Тогда $\left(2x + \frac{3}{x}\right)^2 - 12 = 13;$

$\left(2x + \frac{3}{x}\right)^2 = $

$2x + \frac{3}{x} = $

или $2x + \frac{3}{x} = $

Ответ:

Решение.

Дано выражение $4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$. Чтобы найти значение выражения $2x + \frac{3}{x}$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим искомое выражение $2x + \frac{3}{x}$ в виде квадрата суммы:

$(2x + \frac{3}{x})^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot \frac{3}{x} + (\frac{3}{x})^2 = 4x^2 + 12 + \frac{9}{x^2}$

Мы видим, что это выражение содержит данное нам в условии $4x^2 + \frac{9}{x^2}$. Выразим его:

$4x^2 + \frac{9}{x^2} = (2x + \frac{3}{x})^2 - 12$

Теперь подставим известное значение $4x^2 + \frac{9}{x^2} = 13$ в полученное равенство:

$13 = (2x + \frac{3}{x})^2 - 12$

Перенесем 12 в левую часть уравнения:

$(2x + \frac{3}{x})^2 = 13 + 12$

$(2x + \frac{3}{x})^2 = 25$

Чтобы найти значение $2x + \frac{3}{x}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $y^2 = c$ (где $c > 0$) имеет два корня: $y = \sqrt{c}$ и $y = -\sqrt{c}$.

$2x + \frac{3}{x} = \sqrt{25}$ или $2x + \frac{3}{x} = -\sqrt{25}$

$2x + \frac{3}{x} = 5$ или $2x + \frac{3}{x} = -5$

Ответ: -5 или 5.