Номер 6, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 6, страница 51.

Условие.

6. Упростите выражение:

1) $\frac{c+6}{c^2-10c+25} \cdot \frac{c^2-36}{4c-20} : \frac{4}{c-6} =$

$= \frac{c+6}{( \quad )^2} \frac{4( \quad )}{( \quad )( \quad )} : \frac{4}{c-6} =$

2) $(\frac{m+3}{m-3} + \frac{m-3}{m+3}) \cdot \frac{4m^2+36}{m^2+6m+9} =$

3) $(a+b - \frac{2ab}{a+b}) : \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} \cdot \frac{( \quad )}{( \quad )} =$

4) $(\frac{3c}{c-2} - c) : (c - \frac{8c-25}{c-2}) =$

5) $(\frac{7}{a^2-7a} - \frac{2}{a-7} - \frac{a}{49-7a}) \cdot \frac{a^2-49}{a} =$

$= (\frac{7}{a( \quad )} - \frac{2}{a-7} + \frac{a}{7( \quad )}) \cdot \frac{a^2-49}{a} =$

6) $(\frac{a-2}{a^2-2a+4} - \frac{6a-13}{a^3+8}) \cdot \frac{a-3}{5a^3+40} =$

Решение.

1)

Упростим выражение $\frac{c+6}{c^2-10c+25} \cdot \frac{c^2-36}{4c-20} : \frac{4}{c-6}$ по шагам.

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $c^2 - 10c + 25 = (c-5)^2$ (формула квадрата разности).
• $c^2 - 36 = (c-6)(c+6)$ (формула разности квадратов).
• $4c - 20 = 4(c-5)$ (вынесение общего множителя за скобки).

2. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$\frac{c+6}{(c-5)^2} \cdot \frac{(c-6)(c+6)}{4(c-5)} : \frac{4}{c-6}$

3. Заменим деление на дробь умножением на обратную дробь:

$\frac{c+6}{(c-5)^2} \cdot \frac{(c-6)(c+6)}{4(c-5)} \cdot \frac{c-6}{4}$

4. Перемножим числители и знаменатели и сгруппируем множители:

$\frac{(c+6) \cdot (c+6) \cdot (c-6) \cdot (c-6)}{(c-5)^2 \cdot 4(c-5) \cdot 4} = \frac{(c+6)^2 (c-6)^2}{16(c-5)^3}$

Ответ: $\frac{(c+6)^2 (c-6)^2}{16(c-5)^3}$

2)

Упростим выражение $(\frac{m+3}{m-3} + \frac{m-3}{m+3}) \cdot \frac{4m^2+36}{m^2+6m+9}$.

1. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m-3)(m+3)$:

$\frac{m+3}{m-3} + \frac{m-3}{m+3} = \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m+3)} + \frac{(m-3)^2}{(m-3)(m+3)} = \frac{(m^2+6m+9) + (m^2-6m+9)}{(m-3)(m+3)} = \frac{2m^2+18}{(m-3)(m+3)} = \frac{2(m^2+9)}{m^2-9}$

2. Теперь разложим на множители вторую дробь:

• $4m^2+36 = 4(m^2+9)$
• $m^2+6m+9 = (m+3)^2$

Получим дробь $\frac{4(m^2+9)}{(m+3)^2}$.

3. Перемножим результаты первого и второго шагов:

$\frac{2(m^2+9)}{(m-3)(m+3)} \cdot \frac{4(m^2+9)}{(m+3)^2} = \frac{2(m^2+9) \cdot 4(m^2+9)}{(m-3)(m+3) \cdot (m+3)^2} = \frac{8(m^2+9)^2}{(m-3)(m+3)^3}$

Ответ: $\frac{8(m^2+9)^2}{(m-3)(m+3)^3}$

3)

Упростим выражение $(a+b - \frac{2ab}{a+b}) : \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.

1. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $a+b$:

$a+b - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

2. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

3. Выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{a^2+b^2}$

4. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($a^2+b^2$ и $a+b$):

$\frac{\cancel{a^2+b^2}}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{(a-b)(\cancel{a+b})}{\cancel{a^2+b^2}} = a-b$

Ответ: $a-b$

4)

Упростим выражение $(\frac{3c}{c-2} - c) : (c - \frac{8c-25}{c-2})$.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $c-2$:

$\frac{3c}{c-2} - c = \frac{3c - c(c-2)}{c-2} = \frac{3c - c^2 + 2c}{c-2} = \frac{5c-c^2}{c-2} = \frac{c(5-c)}{c-2}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $c-2$:

$c - \frac{8c-25}{c-2} = \frac{c(c-2) - (8c-25)}{c-2} = \frac{c^2-2c-8c+25}{c-2} = \frac{c^2-10c+25}{c-2} = \frac{(c-5)^2}{c-2}$

3. Выполним деление полученных выражений:

$\frac{c(5-c)}{c-2} : \frac{(c-5)^2}{c-2} = \frac{c(5-c)}{c-2} \cdot \frac{c-2}{(c-5)^2}$

4. Заметим, что $5-c = -(c-5)$, и сократим дроби:

$\frac{-c(c-5)}{\cancel{c-2}} \cdot \frac{\cancel{c-2}}{(c-5)^2} = \frac{-c(c-5)}{(c-5)^2} = \frac{-c}{c-5}$

Результат можно также записать в виде $\frac{c}{5-c}$.

Ответ: $\frac{-c}{c-5}$

5)

Упростим выражение $(\frac{7}{a^2-7a} - \frac{2}{a-7} - \frac{a}{49-7a}) \cdot \frac{a^2-49}{a}$.

1. Разложим на множители знаменатели в скобках:

• $a^2-7a = a(a-7)$
• $49-7a = 7(7-a) = -7(a-7)$

2. Перепишем выражение в скобках и приведем к общему знаменателю $7a(a-7)$:

$\frac{7}{a(a-7)} - \frac{2}{a-7} - \frac{a}{-7(a-7)} = \frac{7}{a(a-7)} - \frac{2}{a-7} + \frac{a}{7(a-7)} = \frac{7 \cdot 7}{7a(a-7)} - \frac{2 \cdot 7a}{7a(a-7)} + \frac{a \cdot a}{7a(a-7)} = \frac{49-14a+a^2}{7a(a-7)}$

3. Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(a-7)^2}{7a(a-7)} = \frac{a-7}{7a}$

4. Разложим на множители вторую дробь: $\frac{a^2-49}{a} = \frac{(a-7)(a+7)}{a}$.

5. Перемножим полученные выражения:

$\frac{a-7}{7a} \cdot \frac{(a-7)(a+7)}{a} = \frac{(a-7)^2(a+7)}{7a^2}$

Ответ: $\frac{(a-7)^2(a+7)}{7a^2}$

6)

Упростим выражение $(\frac{a-2}{a^2-2a+4} - \frac{6a-13}{a^3+8}) \cdot \frac{a-3}{5a^3+40}$.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби в скобках, используя формулу суммы кубов: $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$.

2. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $(a+2)(a^2-2a+4) = a^3+8$:

$\frac{a-2}{a^2-2a+4} - \frac{6a-13}{a^3+8} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{6a-13}{a^3+8} = \frac{a^2-4 - (6a-13)}{a^3+8} = \frac{a^2-4-6a+13}{a^3+8} = \frac{a^2-6a+9}{a^3+8}$

3. Свернем числитель по формуле квадрата разности:

$\frac{(a-3)^2}{a^3+8}$

4. Вынесем общий множитель в знаменателе второй дроби: $5a^3+40 = 5(a^3+8)$.

5. Перемножим полученные выражения:

$\frac{(a-3)^2}{a^3+8} \cdot \frac{a-3}{5(a^3+8)} = \frac{(a-3)^3}{5(a^3+8)^2}$

Ответ: $\frac{(a-3)^3}{5(a^3+8)^2}$