Номер 9, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 9, страница 53.

Условие.

9. Упростите выражение:

1) $\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}$;

Решение.

Умножив числитель и знаменатель данного дробного выражения на одночлен ab, получаем:

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} = \frac{(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \cdot ab}{(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot ab} = \frac{\frac{a}{b} \cdot ab + \frac{b}{a} \cdot ab}{\frac{a}{b} \cdot ab - \frac{b}{a} \cdot ab} =$

2) $\frac{\frac{a-c}{b-c} - \frac{b+c}{a+c}}{\frac{a+c}{b-c} + \frac{c-b}{a+c}}$.

Решение.

Умножив числитель и знаменатель данного дробного выражения на выражение $(b - c)(a + c)$, получаем:

$\frac{\frac{a-c}{b-c} - \frac{b+c}{a+c}}{\frac{a+c}{b-c} + \frac{c-b}{a+c}} = \frac{(\frac{a-c}{b-c} - \frac{b+c}{a+c}) \cdot (b-c)(a+c)}{(\frac{a+c}{b-c} + \frac{c-b}{a+c}) \cdot (b-c)(a+c)} =$

Решение.

1)

Для того чтобы упростить данное выражение, можно умножить числитель и знаменатель основной дроби на общий знаменатель вложенных дробей, то есть на $ab$. Это позволит избавиться от "многоэтажности".

$$ \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}} = \frac{\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) \cdot ab}{\left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) \cdot ab} $$

Теперь раскроем скобки, умножив каждый член в числителе и знаменателе на $ab$.

В числителе получаем:

$$ \frac{a}{b} \cdot ab + \frac{b}{a} \cdot ab = a \cdot a + b \cdot b = a^2 + b^2 $$

В знаменателе получаем:

$$ \frac{a}{b} \cdot ab - \frac{b}{a} \cdot ab = a \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2 $$

Подставив упрощенные выражения обратно в дробь, получаем конечный результат:

$$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $$

Ответ: $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $

2)

Аналогично первому пункту, умножим числитель и знаменатель на общий знаменатель вложенных дробей, который равен $(b-c)(a+c)$.

$$ \frac{\frac{a-c}{b-c} - \frac{b+c}{a+c}}{\frac{a+c}{b-c} + \frac{c-b}{a+c}} = \frac{\left(\frac{a-c}{b-c} - \frac{b+c}{a+c}\right) \cdot (b-c)(a+c)}{\left(\frac{a+c}{b-c} + \frac{c-b}{a+c}\right) \cdot (b-c)(a+c)} $$

Упростим числитель:

$$ \left(\frac{a-c}{b-c}\right) \cdot (b-c)(a+c) - \left(\frac{b+c}{a+c}\right) \cdot (b-c)(a+c) = (a-c)(a+c) - (b+c)(b-c) $$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$$ (a^2 - c^2) - (b^2 - c^2) = a^2 - c^2 - b^2 + c^2 = a^2 - b^2 $$

Теперь упростим знаменатель:

$$ \left(\frac{a+c}{b-c}\right) \cdot (b-c)(a+c) + \left(\frac{c-b}{a+c}\right) \cdot (b-c)(a+c) = (a+c)(a+c) + (c-b)(b-c) $$

Заметим, что $c-b = -(b-c)$. Тогда $(c-b)(b-c) = -(b-c)^2$.

$$ (a+c)^2 - (b-c)^2 $$

Снова применим формулу разности квадратов:

$$ ((a+c) - (b-c))((a+c) + (b-c)) = (a+c-b+c)(a+c+b-c) = (a-b+2c)(a+b) $$

Собираем итоговую дробь из упрощенных числителя и знаменателя:

$$ \frac{a^2 - b^2}{(a-b+2c)(a+b)} $$

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

$$ \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b+2c)(a+b)} = \frac{a-b}{a-b+2c} $$

Ответ: $ \frac{a-b}{a-b+2c} $