Номер 2, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 2, страница 58.

Условие.

Решаем задачи

2. Поставьте в квадрате знак «+», если данные уравнения являются равносильными, или знак «–», если они не являются равносильными.

1) $3x - 6 = 9$ и $7 - 1,2x = 1$

2) $-1\frac{1}{7}x = 4$ и $-\frac{x}{7} = -\frac{1}{2}$

3) $(x - 1)(x + 2) = 0$ и $(x + 1)(x - 2) = 0$

4) $(2x - 18)(4,2 + 0,7x) = 0$ и $(5x + 30)(54 - 6x) = 0$

5) $(2x - 1) - (x + 3) = x$ и $\frac{7}{x+1} = 0$

6) $(2x - 1) - (x + 3) = x - 4$ и $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} = 1$

Решение.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить равносильность уравнений в каждой паре, найдем корни каждого уравнения.

1) $3x - 6 = 9$ и $7 - 1,2x = 1$

Решим первое уравнение:
$3x - 6 = 9$
$3x = 9 + 6$
$3x = 15$
$x = \frac{15}{3}$
$x = 5$
Корень первого уравнения: $x=5$.

Решим второе уравнение:
$7 - 1,2x = 1$
$-1,2x = 1 - 7$
$-1,2x = -6$
$x = \frac{-6}{-1,2}$
$x = 5$
Корень второго уравнения: $x=5$.

Множества решений обоих уравнений совпадают ($\{5\}$). Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: +

2) $-1\frac{1}{7}x = 4$ и $-\frac{x}{7} = -\frac{1}{2}$

Решим первое уравнение:
$-1\frac{1}{7}x = 4$
$-\frac{8}{7}x = 4$
$x = 4 \cdot (-\frac{7}{8})$
$x = -\frac{28}{8} = -\frac{7}{2} = -3,5$
Корень первого уравнения: $x=-3,5$.

Решим второе уравнение:
$-\frac{x}{7} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{7} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{7}{2} = 3,5$
Корень второго уравнения: $x=3,5$.

Множества решений уравнений не совпадают ($\{-3,5\} \neq \{3,5\}$). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: ↔

3) $(x - 1)(x + 2) = 0$ и $(x + 1)(x - 2) = 0$

Решим первое уравнение. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0$ или $x + 2 = 0$
$x_1 = 1$, $x_2 = -2$
Множество решений первого уравнения: $\{-2, 1\}$.

Решим второе уравнение:
$x + 1 = 0$ или $x - 2 = 0$
$x_1 = -1$, $x_2 = 2$
Множество решений второго уравнения: $\{-1, 2\}$.

Множества решений уравнений не совпадают. Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: ↔

4) $(2x - 18)(4,2 + 0,7x) = 0$ и $(5x + 30)(54 - 6x) = 0$

Решим первое уравнение:
$2x - 18 = 0$ или $4,2 + 0,7x = 0$
$2x = 18$ или $0,7x = -4,2$
$x_1 = 9$ или $x_2 = -6$
Множество решений первого уравнения: $\{-6, 9\}$.

Решим второе уравнение:
$5x + 30 = 0$ или $54 - 6x = 0$
$5x = -30$ или $54 = 6x$
$x_1 = -6$ или $x_2 = 9$
Множество решений второго уравнения: $\{-6, 9\}$.

Множества решений обоих уравнений совпадают. Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: +

5) $(2x - 1) - (x + 3) = x$ и $\frac{7}{x + 1} = 0$

Решим первое уравнение:
$2x - 1 - x - 3 = x$
$x - 4 = x$
$-4 = 0$
Получено неверное равенство, значит, уравнение не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Решим второе уравнение:
$\frac{7}{x + 1} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель равен 7, что не равно 0. Следовательно, это уравнение также не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Так как оба уравнения не имеют корней, их множества решений совпадают (оба пусты). Следовательно, уравнения являются равносильными.

Ответ: +

6) $(2x - 1) - (x + 3) = x - 4$ и $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} = 1$

Решим первое уравнение:
$2x - 1 - x - 3 = x - 4$
$x - 4 = x - 4$
$0 = 0$
Получено верное тождество, значит, решением уравнения является любое действительное число. Множество решений — $x \in \mathbb{R}$.

Решим второе уравнение:
$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} = 1$
Это равенство верно для всех значений $x$, при которых знаменатель не обращается в ноль (область допустимых значений, ОДЗ).
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$
Множество решений второго уравнения — все действительные числа, кроме -2 и 2.

Множество решений первого уравнения (все действительные числа) не совпадает с множеством решений второго уравнения (все действительные числа, кроме -2 и 2). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Ответ: ↔