Номер 14, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 6. Тождественные преобразования рациональных выражений - номер 14, страница 56.

Условие.

14. Упростите выражение:

1) $(\frac{1}{ab+b^2} - \frac{8}{a^2+ab} + \frac{16b}{a^3+a^2b}) : (\frac{a}{b^2} - \frac{8}{b} + \frac{16}{a}) =$

$= (\frac{1}{b( \quad )} - \frac{8}{a( \quad )} + \frac{16b}{a^2( \quad )}) : \frac{}{ab^2} =$

2) $(\frac{bc+c^2}{b^2-bc} + bc+c^2) \cdot \frac{b}{b+c} - \frac{c}{b-c} =$

$(bc+c^2) \cdot (\frac{1}{b^2-bc} + 1) \cdot \frac{b}{b+c} - \frac{c}{b-c} =$

3) $(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) : \frac{a^2-b^2-c^2-2bc}{ab} =$

$= \frac{}{abc} : \frac{a^2-(b^2+c^2+2bc)}{ab} =$

4) $(\frac{a^2+a}{a^3+a^2+a+1} + \frac{1}{a^2+1}) : (\frac{1}{a-1} - \frac{2a}{a^3-a^2+a-1}) =$

Решение.

1) $(\frac{1}{ab + b^2} - \frac{8}{a^2 + ab} + \frac{16b}{a^3 + a^2b}) : (\frac{a}{b^2} - \frac{8}{b} + \frac{16}{a})$

Сначала упростим выражение в первой скобке. Для этого разложим знаменатели на множители:

$ab + b^2 = b(a+b)$

$a^2 + ab = a(a+b)$

$a^3 + a^2b = a^2(a+b)$

Общий знаменатель для дробей в первой скобке — $a^2b(a+b)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{1 \cdot a^2}{a^2b(a+b)} - \frac{8 \cdot ab}{a^2b(a+b)} + \frac{16b \cdot b}{a^2b(a+b)} = \frac{a^2 - 8ab + 16b^2}{a^2b(a+b)}$

Числитель $a^2 - 8ab + 16b^2$ является полным квадратом разности: $(a-4b)^2$.

Таким образом, выражение в первой скобке равно: $\frac{(a-4b)^2}{a^2b(a+b)}$

Теперь упростим выражение во второй скобке. Приведем дроби к общему знаменателю $ab^2$:

$\frac{a \cdot a}{ab^2} - \frac{8 \cdot ab}{ab^2} + \frac{16 \cdot b^2}{ab^2} = \frac{a^2 - 8ab + 16b^2}{ab^2} = \frac{(a-4b)^2}{ab^2}$

Выполним деление полученных выражений:

$\frac{(a-4b)^2}{a^2b(a+b)} : \frac{(a-4b)^2}{ab^2} = \frac{(a-4b)^2}{a^2b(a+b)} \cdot \frac{ab^2}{(a-4b)^2}$

Сократим общий множитель $(a-4b)^2$ и упростим оставшуюся дробь:

$\frac{ab^2}{a^2b(a+b)} = \frac{b}{a(a+b)}$

Ответ: $\frac{b}{a(a+b)}$.

2) $(\frac{bc + c^2}{b^2 - bc} + bc + c^2) \cdot \frac{b}{b+c} - \frac{c}{b-c}$

Вынесем общий множитель $(bc+c^2)$ за скобки в первом действии:

$(bc+c^2)(\frac{1}{b^2-bc} + 1) = c(b+c)(\frac{1}{b(b-c)} + 1)$

Приведем к общему знаменателю выражение во второй скобке:

$c(b+c)(\frac{1+b(b-c)}{b(b-c)}) = c(b+c)\frac{1+b^2-bc}{b(b-c)}$

Теперь умножим результат на дробь $\frac{b}{b+c}$ и сократим:

$c(b+c)\frac{1+b^2-bc}{b(b-c)} \cdot \frac{b}{b+c} = \frac{c(1+b^2-bc)}{b-c}$

Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{c(1+b^2-bc)}{b-c} - \frac{c}{b-c} = \frac{c+cb^2-bc^2-c}{b-c} = \frac{cb^2-bc^2}{b-c}$

Вынесем общий множитель $bc$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{bc(b-c)}{b-c} = bc$

Ответ: $bc$.

3) $(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}) : \frac{a^2 - b^2 - c^2 - 2bc}{ab}$

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $abc$:

$\frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$

Преобразуем числитель делителя, сгруппировав слагаемые и применив формулу квадрата суммы, а затем разности квадратов:

$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - (b+c)^2 = (a-(b+c))(a+(b+c)) = (a-b-c)(a+b+c)$

Таким образом, делитель равен: $\frac{(a-b-c)(a+b+c)}{ab}$

Теперь выполним деление:

$\frac{a+b+c}{abc} : \frac{(a-b-c)(a+b+c)}{ab} = \frac{a+b+c}{abc} \cdot \frac{ab}{(a-b-c)(a+b+c)}$

Сократим общие множители $(a+b+c)$ и $ab$:

$\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{a-b-c} = \frac{1}{c(a-b-c)}$

Ответ: $\frac{1}{c(a-b-c)}$.

4) $(\frac{a^2+a}{a^3+a^2+a+1} + \frac{1}{a^2+1}) : (\frac{1}{a-1} - \frac{2a}{a^3-a^2+a-1})$

Упростим выражение в первой скобке. Разложим знаменатель первой дроби на множители методом группировки:

$a^3+a^2+a+1 = a^2(a+1) + 1(a+1) = (a^2+1)(a+1)$

Числитель этой дроби $a^2+a = a(a+1)$. Сократим дробь:

$\frac{a(a+1)}{(a^2+1)(a+1)} = \frac{a}{a^2+1}$

Теперь сложим дроби в первой скобке:

$\frac{a}{a^2+1} + \frac{1}{a^2+1} = \frac{a+1}{a^2+1}$

Упростим выражение во второй скобке. Разложим знаменатель второй дроби:

$a^3-a^2+a-1 = a^2(a-1) + 1(a-1) = (a^2+1)(a-1)$

Приведем дроби во второй скобке к общему знаменателю $(a^2+1)(a-1)$:

$\frac{1 \cdot (a^2+1)}{(a-1)(a^2+1)} - \frac{2a}{(a^2+1)(a-1)} = \frac{a^2+1-2a}{(a^2+1)(a-1)}$

Числитель $a^2-2a+1$ является полным квадратом разности $(a-1)^2$. Сократим дробь:

$\frac{(a-1)^2}{(a^2+1)(a-1)} = \frac{a-1}{a^2+1}$

Наконец, выполним деление:

$\frac{a+1}{a^2+1} : \frac{a-1}{a^2+1} = \frac{a+1}{a^2+1} \cdot \frac{a^2+1}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$

Ответ: $\frac{a+1}{a-1}$.