Номер 4, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 4, страница 58.

Условие.

4. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 5x}{x - 5} = 0$;

Решение.

Данное уравнение

равносильно системе

$\begin{cases} x^2 - 5x = 0, \\ x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Имеем:

$\begin{cases} x(x - 5) = 0, \\ x - 5 \neq 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x = 0 \text{ или } x - 5 = 0, \\ x \neq 5; \end{cases}$

$\begin{cases} x = 0 \text{ или } x = 5, \\ x \neq 5; \end{cases}$

$x = $

Ответ:

2) $\frac{3x - 1}{x + 4} - \frac{7 - x}{x + 4} = 0$;

Решение.

Представим левую часть

уравнения в виде дроби:

$\frac{3x - 1 - 7 + x}{x + 4} = 0$;

$\frac{4x - 8}{x + 4} = 0$.

Полученное уравнение

равносильно системе

$\begin{cases} 4x - 8 = 0, \\ x + 4 \neq 0. \end{cases}$

Имеем:

Ответ:

3) $\frac{x + 4}{x} - \frac{x - 5}{x - 1} = 0$;

Решение.

Представим левую часть

уравнения в виде дроби:

Ответ:

4) $\frac{x}{x - 8} - \frac{64}{x^2 - 8x} = 0$;

Решение.

Ответ:

5) $\frac{3}{2x + 3} + \frac{2}{5 - 3x} = 0$;

Решение.

Ответ:

6) $\frac{2x^2 - x + 1}{x - 3} - 2x = 4$.

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $\frac{x^2 - 5x}{x - 5} = 0$

Решение.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} x^2 - 5x = 0, \\ x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x = 0$ или $x - 5 = 0$, то есть $x = 5$.

Теперь учтем условие из второго уравнения системы:

$x - 5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.

Сравнивая полученные корни с этим условием, видим, что корень $x = 5$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль. Единственным решением уравнения является $x = 0$.

Ответ: $0$

2) $\frac{3x - 1}{x + 4} - \frac{7 - x}{x + 4} = 0$

Решение.

Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, представим левую часть уравнения в виде одной дроби:

$\frac{(3x - 1) - (7 - x)}{x + 4} = 0$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3x - 1 - 7 + x}{x + 4} = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{4x - 8}{x + 4} = 0$

Полученное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x - 8 = 0, \\ x + 4 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$4x = 8$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Корень $x = 2$ удовлетворяет этому условию, значит, является решением уравнения.

Ответ: $2$

3) $\frac{x + 4}{x} - \frac{x - 5}{x - 1} = 0$

Решение.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$\begin{cases} x \neq 0, \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 0, \\ x \neq 1. \end{cases}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 1)$:

$\frac{(x + 4)(x - 1) - x(x - 5)}{x(x - 1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$(x + 4)(x - 1) - x(x - 5) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - x + 4x - 4 - (x^2 - 5x) = 0$

$x^2 + 3x - 4 - x^2 + 5x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$8x - 4 = 0$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Полученный корень $x = 0.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 1$).

Ответ: $0.5$

4) $\frac{x}{x - 8} - \frac{64}{x^2 - 8x} = 0$

Решение.

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2 - 8x = x(x - 8)$. Уравнение примет вид:

$\frac{x}{x - 8} - \frac{64}{x(x - 8)} = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 8)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x - 8)} - \frac{64}{x(x - 8)} = 0$

$\frac{x^2 - 64}{x(x - 8)} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 64 = 0, \\ x(x - 8) \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 = 64$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 8$). Корень $x = 8$ является посторонним. Корень $x = -8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-8$

5) $\frac{3}{2x + 3} + \frac{2}{5 - 3x} = 0$

Решение.

ОДЗ: $2x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.5$ и $5 - 3x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{5}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2x + 3)(5 - 3x)$:

$\frac{3(5 - 3x) + 2(2x + 3)}{(2x + 3)(5 - 3x)} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$3(5 - 3x) + 2(2x + 3) = 0$

$15 - 9x + 4x + 6 = 0$

$21 - 5x = 0$

$5x = 21$

$x = \frac{21}{5} = 4.2$

Полученный корень $x = 4.2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4.2$

6) $\frac{2x^2 - x + 1}{x - 3} - 2x = 4$

Решение.

ОДЗ: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\frac{2x^2 - x + 1}{x - 3} - 2x - 4 = 0$

Приведем все к общему знаменателю $x - 3$:

$\frac{2x^2 - x + 1 - 2x(x - 3) - 4(x - 3)}{x - 3} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2x^2 - x + 1 - 2x(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Раскроем скобки:

$2x^2 - x + 1 - 2x^2 + 6x - 4x + 12 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 2x^2) + (-x + 6x - 4x) + (1 + 12) = 0$

$x + 13 = 0$

$x = -13$

Полученный корень $x = -13$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$).

Ответ: $-13$