Номер 10, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 10, страница 66.

Условие.

10. Решите уравнение:

1) $ \frac{3x+4}{x^2-36} = \frac{x+3}{x^2+6x} + \frac{2x-1}{x^2-6x} $

Решение.

Имеем:

$ \frac{3x+4}{(\quad)(\quad)} - \frac{x+3}{x(\quad)} - \frac{2x-1}{x(\quad)} = 0. $

Представим левую часть полученного уравнения в виде дроби:

Ответ:

2) $ \frac{1}{(x+5)^2} - \frac{2}{x^2-25} = \frac{3}{(x-5)^2} $

Решение.

Ответ:

3) $ \frac{2}{2x+3} - \frac{x-5}{2x^2-3x} = \frac{2x+11}{4x^2-9} $

Решение.

Имеем:

$ \frac{2}{2x+3} - \frac{x-5}{x(\quad)} - \frac{2x+11}{(\quad)(\quad)} = 0. $

Ответ:

Решение.

1) $\frac{3x+4}{x^2-36} = \frac{x+3}{x^2+6x} + \frac{2x-1}{x^2-6x}$

Решение.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\frac{3x+4}{x^2-36} - \frac{x+3}{x^2+6x} - \frac{2x-1}{x^2-6x} = 0$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$x^2-36 = (x-6)(x+6)$

$x^2+6x = x(x+6)$

$x^2-6x = x(x-6)$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.

Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x(3x+4)}{x(x-6)(x+6)} - \frac{(x-6)(x+3)}{x(x-6)(x+6)} - \frac{(x+6)(2x-1)}{x(x-6)(x+6)} = 0$

Запишем числитель в виде одного выражения:

$\frac{x(3x+4) - (x-6)(x+3) - (x+6)(2x-1)}{x(x-6)(x+6)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решим уравнение для числителя:

$x(3x+4) - (x-6)(x+3) - (x+6)(2x-1) = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2+4x - (x^2+3x-6x-18) - (2x^2-x+12x-6) = 0$

$3x^2+4x - (x^2-3x-18) - (2x^2+11x-6) = 0$

$3x^2+4x - x^2+3x+18 - 2x^2-11x+6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2-x^2-2x^2) + (4x+3x-11x) + (18+6) = 0$

$0 \cdot x^2 - 4x + 24 = 0$

$-4x + 24 = 0$

$-4x = -24$

$x = 6$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $x \neq 6$, то $x=6$ является посторонним корнем.

Ответ: нет корней.

2) $\frac{1}{(x+5)^2} - \frac{2}{x^2-25} = \frac{3}{(x-5)^2}$

Решение.

Перенесем все члены в левую часть и разложим знаменатель $x^2-25$ на множители:

$\frac{1}{(x+5)^2} - \frac{2}{(x-5)(x+5)} - \frac{3}{(x-5)^2} = 0$

ОДЗ: $x \neq 5$, $x \neq -5$.

Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (x-5)^2}{(x-5)^2(x+5)^2} - \frac{2(x-5)(x+5)}{(x-5)^2(x+5)^2} - \frac{3 \cdot (x+5)^2}{(x-5)^2(x+5)^2} = 0$

Решим уравнение для числителя:

$(x-5)^2 - 2(x-5)(x+5) - 3(x+5)^2 = 0$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2-10x+25) - 2(x^2-25) - 3(x^2+10x+25) = 0$

$x^2-10x+25 - 2x^2+50 - 3x^2-30x-75 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2-2x^2-3x^2) + (-10x-30x) + (25+50-75) = 0$

$-4x^2 - 40x = 0$

Вынесем общий множитель $-4x$ за скобки:

$-4x(x+10) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$-4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x+10 = 0 \Rightarrow x_2 = -10$

Оба корня ($0$ и $-10$) входят в ОДЗ.

Ответ: $-10; 0$.

3) $\frac{2}{2x+3} - \frac{x-5}{2x^2-3x} = \frac{2x+11}{4x^2-9}$

Решение.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{2}{2x+3} - \frac{x-5}{2x^2-3x} - \frac{2x+11}{4x^2-9} = 0$

Разложим знаменатели на множители:

$2x^2-3x = x(2x-3)$

$4x^2-9 = (2x-3)(2x+3)$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.5$; $x \neq 0$; $2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1.5$.

Общий знаменатель: $x(2x-3)(2x+3)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2x(2x-3)}{x(2x-3)(2x+3)} - \frac{(x-5)(2x+3)}{x(2x-3)(2x+3)} - \frac{x(2x+11)}{x(2x-3)(2x+3)} = 0$

Решим уравнение для числителя:

$2x(2x-3) - (x-5)(2x+3) - x(2x+11) = 0$

Раскроем скобки:

$4x^2-6x - (2x^2+3x-10x-15) - (2x^2+11x) = 0$

$4x^2-6x - (2x^2-7x-15) - 2x^2-11x = 0$

$4x^2-6x - 2x^2+7x+15 - 2x^2-11x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2-2x^2-2x^2) + (-6x+7x-11x) + 15 = 0$

$0 \cdot x^2 - 10x + 15 = 0$

$-10x + 15 = 0$

$-10x = -15$

$x = \frac{-15}{-10} = 1.5$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $x \neq 1.5$, то $x=1.5$ является посторонним корнем.

Ответ: нет корней.