Номер 13, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения - номер 13, страница 69.

Условие.

13. Для каждого значения a решите уравнение $\frac{(x - a)(x - 15)}{x - 3} = 0$

Решение.

Данное уравнение равносильно системе $\left\{ \begin{array}{l} x = \text{ или } x = \quad , \\ x \neq \end{array} \right.$

Ответ:

Решение.

Решение.

Данное уравнение $\frac{(x - a)(x - 15)}{x - 3} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе из двух условий:

1) $(x - a)(x - 15) = 0$
2) $x - 3 \ne 0$

Из первого условия, $(x - a)(x - 15) = 0$, следует, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два потенциальных корня уравнения: $x = a$ или $x = 15$.

Второе условие, $x - 3 \ne 0$, определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$, а именно $x \ne 3$.

Теперь необходимо проанализировать, при каких значениях параметра $a$ потенциальные корни удовлетворяют ОДЗ.

Корень $x = 15$ всегда является решением, так как он удовлетворяет условию ОДЗ: $15 \ne 3$.

Корень $x = a$ будет являться решением уравнения только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при $a \ne 3$.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения параметра $a$:

Случай 1: $a = 3$.
В этом случае потенциальный корень $x=a$ совпадает со значением $x=3$, которое не входит в ОДЗ. Следовательно, $x=3$ не является корнем уравнения. Единственным решением остается второй корень $x=15$.

Случай 2: $a = 15$.
В этом случае два потенциальных корня совпадают: $x=a=15$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($15 \ne 3$), поэтому уравнение имеет единственный корень $x=15$.

Случай 3: $a \ne 3$ и $a \ne 15$.
В этом случае уравнение имеет два различных потенциальных корня: $x=a$ и $x=15$. Корень $x=a$ удовлетворяет ОДЗ, так как по условию этого случая $a \ne 3$. Корень $x=15$ также удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, уравнение имеет два различных корня: $x=a$ и $x=15$.

Обобщая результаты анализа, сформулируем окончательный ответ.

Ответ:
- если $a = 3$ или $a = 15$, то уравнение имеет один корень $x = 15$;
- если $a \ne 3$ и $a \ne 15$, то уравнение имеет два корня $x_1 = a$, $x_2 = 15$.