Номер 7, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 7, страница 71.

Условие.

7. Вычислите:

1) $2^{-4} - 3^{-2} = \frac{1}{2^4} - \frac{1}{3^2} =$

2) $7^0 - 7^{-2} + 7^{-1} =$

3) $36 \cdot 6^{-3} = 6^2 \cdot \frac{1}{6^3} =$

4) $3^{-4} \cdot 27 =$

Решение.

1) $2^{-4} - 3^{-2}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-4} - 3^{-2} = \frac{1}{2^4} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{16} - \frac{1}{9}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 9 равен их произведению: $16 \cdot 9 = 144$.

$\frac{1 \cdot 9}{16 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{9}{144} - \frac{16}{144} = \frac{9 - 16}{144} = -\frac{7}{144}$

Ответ: $-\frac{7}{144}$

2) $7^0 - 7^{-2} + 7^{-1}$

Используем свойства степеней: любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$) и степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$7^0 - 7^{-2} + 7^{-1} = 1 - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^1} = 1 - \frac{1}{49} + \frac{1}{7}$

Приводим все слагаемые к общему знаменателю 49:

$\frac{49}{49} - \frac{1}{49} + \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{49}{49} - \frac{1}{49} + \frac{7}{49} = \frac{49 - 1 + 7}{49} = \frac{55}{49}$

Ответ: $\frac{55}{49}$

3) $36 \cdot 6^{-3}$

Представим число 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$.

$36 \cdot 6^{-3} = 6^2 \cdot 6^{-3}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$6^2 \cdot 6^{-3} = 6^{2+(-3)} = 6^{2-3} = 6^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем:

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4) $3^{-4} \cdot 27$

Представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$3^{-4} \cdot 27 = 3^{-4} \cdot 3^3$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^{-4} \cdot 3^3 = 3^{-4+3} = 3^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$