Номер 12, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 12, страница 72.

Условие.

12. Найдите значение выражения:

1) $2,5 \cdot (0,4)^{-2} - 45 \cdot 2^{-3} = 2\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{-2} - 45 \cdot \frac{1}{2^3} =$

2) $(-0,6)^{-3} : 1\frac{2}{3} + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \left(-\frac{3}{5}\right)^{-3} : \frac{5}{3} + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 =$

3) $(3^{-1} - 5^{-1})(3^{-1} + 5^{-1}) + 3^{-1} \cdot 7^0 = \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) +$

Решение.

1) $2,5 \cdot (0,4)^{-2} - 45 \cdot 2^{-3}$

Для решения этого выражения, сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{5}{2} \cdot (\frac{2}{5})^{-2} - 45 \cdot 2^{-3}$

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{2}{5})^{-2} = (\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}$

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Подставим полученные значения обратно в выражение и выполним вычисления:

$\frac{5}{2} \cdot \frac{25}{4} - 45 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5 \cdot 25}{2 \cdot 4} - \frac{45}{8} = \frac{125}{8} - \frac{45}{8}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{125 - 45}{8} = \frac{80}{8} = 10$

Ответ: $10$

2) $(-0,6)^{-3} : 1\frac{2}{3} + (-\frac{3}{4})^{-2}$

Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Подставим эти значения в выражение:

$(-\frac{3}{5})^{-3} : \frac{5}{3} + (-\frac{3}{4})^{-2}$

Применим свойство степени с отрицательным показателем:

$(-\frac{3}{5})^{-3} = (-\frac{5}{3})^3 = -\frac{5^3}{3^3} = -\frac{125}{27}$

$(-\frac{3}{4})^{-2} = (-\frac{4}{3})^2 = \frac{(-4)^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Подставим вычисленные значения и выполним действия по порядку:

$-\frac{125}{27} : \frac{5}{3} + \frac{16}{9}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь, а затем сложение:

$-\frac{125}{27} \cdot \frac{3}{5} + \frac{16}{9} = -\frac{125 \cdot 3}{27 \cdot 5} + \frac{16}{9} = -\frac{25 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 9 \cdot \cancel{5}} + \frac{16}{9} = -\frac{25}{9} + \frac{16}{9}$

$\frac{-25 + 16}{9} = \frac{-9}{9} = -1$

Ответ: $-1$

3) $(3^{-1} - 5^{-1})(3^{-1} + 5^{-1}) + 3^{-1} \cdot 7^0$

Рассмотрим первую часть выражения: $(3^{-1} - 5^{-1})(3^{-1} + 5^{-1})$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, где $a = 3^{-1}$ и $b = 5^{-1}$:

$(3^{-1})^2 - (5^{-1})^2 = 3^{-2} - 5^{-2}$

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{25}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 25 = 225$:

$\frac{25}{225} - \frac{9}{225} = \frac{25 - 9}{225} = \frac{16}{225}$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $3^{-1} \cdot 7^0$.

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому $7^0 = 1$. Также $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Значит, вторая часть равна $\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Теперь сложим результаты обеих частей:

$\frac{16}{225} + \frac{1}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 225, домножив числитель и знаменатель второй дроби на 75:

$\frac{16}{225} + \frac{1 \cdot 75}{3 \cdot 75} = \frac{16}{225} + \frac{75}{225} = \frac{16 + 75}{225} = \frac{91}{225}$

Ответ: $\frac{91}{225}$