Номер 15, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 15, страница 73.

Условие.

15. Сравните числа:

1) $3,2 \cdot 10^7$ $2,86 \cdot 10^7$;

2) $4,6 \cdot 10^6$ $8,5 \cdot 10^5$;

3) $1,02 \cdot 10^{16}$ $9,96 \cdot 10^{15}$;

4) $1,8 \cdot 10^{-8}$ $1,81 \cdot 10^{-8}$;

5) $8,4 \cdot 10^{-9}$ $7,2 \cdot 10^{-7}$;

6) $7,14 \cdot 10^{-20}$ $6 \cdot 10^{-19}$.

Решение.

1) Для сравнения чисел $3,2 \cdot 10^7$ и $2,86 \cdot 10^7$ обратим внимание на то, что множители $10^7$ у них одинаковы. Поэтому достаточно сравнить первые множители (мантиссы): $3,2$ и $2,86$. Так как $3,2 > 2,86$, то и первое число больше второго.
Ответ: $3,2 \cdot 10^7 > 2,86 \cdot 10^7$.

2) Чтобы сравнить числа $4,6 \cdot 10^6$ и $8,5 \cdot 10^5$, нужно привести их к одинаковой степени десяти. Приведем первое число к степени $10^5$:
$4,6 \cdot 10^6 = 4,6 \cdot 10 \cdot 10^5 = 46 \cdot 10^5$.
Теперь сравним $46 \cdot 10^5$ и $8,5 \cdot 10^5$. Поскольку $46 > 8,5$, то первое число больше второго.
Ответ: $4,6 \cdot 10^6 > 8,5 \cdot 10^5$.

3) Для сравнения чисел $1,02 \cdot 10^{16}$ и $9,96 \cdot 10^{15}$ приведем их к одной и той же степени. Приведем первое число к степени $10^{15}$:
$1,02 \cdot 10^{16} = 1,02 \cdot 10 \cdot 10^{15} = 10,2 \cdot 10^{15}$.
Теперь сравним $10,2 \cdot 10^{15}$ и $9,96 \cdot 10^{15}$. Так как $10,2 > 9,96$, то первое число больше второго.
Ответ: $1,02 \cdot 10^{16} > 9,96 \cdot 10^{15}$.

4) В числах $1,8 \cdot 10^{-8}$ и $1,81 \cdot 10^{-8}$ множители со степенью ($10^{-8}$) одинаковы. Следовательно, сравниваем мантиссы: $1,8$ и $1,81$. Поскольку $1,8 < 1,81$, то первое число меньше второго.
Ответ: $1,8 \cdot 10^{-8} < 1,81 \cdot 10^{-8}$.

5) Чтобы сравнить числа $8,4 \cdot 10^{-9}$ и $7,2 \cdot 10^{-7}$, приведем их к одинаковому показателю степени. Приведем второе число к степени $10^{-9}$:
$7,2 \cdot 10^{-7} = 7,2 \cdot 10^2 \cdot 10^{-9} = 720 \cdot 10^{-9}$.
Теперь сравним $8,4 \cdot 10^{-9}$ и $720 \cdot 10^{-9}$. Так как $8,4 < 720$, то первое число меньше второго. Альтернативно, можно было сравнить показатели степени: $-9 < -7$, поэтому при положительных мантиссах число с большим показателем степени ($10^{-7}$) будет больше.
Ответ: $8,4 \cdot 10^{-9} < 7,2 \cdot 10^{-7}$.

6) Для сравнения чисел $7,14 \cdot 10^{-20}$ и $6 \cdot 10^{-19}$ приведем их к общей степени. Приведем второе число к степени $10^{-20}$:
$6 \cdot 10^{-19} = 6 \cdot 10^1 \cdot 10^{-20} = 60 \cdot 10^{-20}$.
Теперь сравним $7,14 \cdot 10^{-20}$ и $60 \cdot 10^{-20}$. Поскольку $7,14 < 60$, то первое число меньше второго. Также можно было сравнить показатели степеней: $-20 < -19$, следовательно, число с большим показателем степени ($10^{-19}$) будет больше.
Ответ: $7,14 \cdot 10^{-20} < 6 \cdot 10^{-19}$.