Номер 6, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 6, страница 74.

Условие.

6. Впишите в пустую клетку такое число, чтобы получилось тождество:

1) $a^{80} = (a^{-10})^{\square}$

2) $a^{-80} = (a^{16})^{\square}$

3) $a^{-80} = (a^{\square})^{20}$

Решение.

1) Чтобы найти число, которое нужно вписать в пустую клетку, воспользуемся свойством степени: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В нашем случае имеем равенство $a^{80} = (a^{-10})^{\square}$.
Пусть искомое число равно $x$. Тогда $a^{80} = (a^{-10})^x = a^{-10 \cdot x}$.
Чтобы равенство было тождеством, показатели степеней должны быть равны:
$80 = -10 \cdot x$
$x = \frac{80}{-10}$
$x = -8$
Проверка: $(a^{-10})^{-8} = a^{-10 \cdot (-8)} = a^{80}$.
Ответ: -8

2) Аналогично первому пункту, используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для равенства $a^{-80} = (a^{16})^{\square}$.
Пусть искомое число равно $y$. Тогда $a^{-80} = (a^{16})^y = a^{16 \cdot y}$.
Приравниваем показатели степеней:
$-80 = 16 \cdot y$
$y = \frac{-80}{16}$
$y = -5$
Проверка: $(a^{16})^{-5} = a^{16 \cdot (-5)} = a^{-80}$.
Ответ: -5

3) Для равенства $a^{-80} = (a^{\square})^{20}$ также применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Пусть искомое число равно $z$. Тогда $a^{-80} = (a^z)^{20} = a^{z \cdot 20}$.
Приравниваем показатели степеней:
$-80 = z \cdot 20$
$z = \frac{-80}{20}$
$z = -4$
Проверка: $(a^{-4})^{20} = a^{-4 \cdot 20} = a^{-80}$.
Ответ: -4