Номер 8, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 8, страница 74.

Условие.

8. Упростите выражение:

1) $(-2b^{-8})^{-2} = (-2)^{-2} \cdot (b^{-8})^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} \cdot b^{16} = \frac{1}{4}b^{16},$

2) $(-4x^{-1}y^{-5})^{-3} =$

3) $(-a^{-3})^{-7} =$

4) $(0,1m^9n^{-12})^{-4} =$

Решение.

1) Для упрощения выражения $(-2b^{-8})^{-2}$ воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.

Сначала применяем свойство степени произведения:

$(-2b^{-8})^{-2} = (-2)^{-2} \cdot (b^{-8})^{-2}$

Теперь вычислим каждый множитель отдельно. Для этого используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство возведения степени в степень.

Для первого множителя:

$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

Для второго множителя:

$(b^{-8})^{-2} = b^{-8 \cdot (-2)} = b^{16}$

Теперь объединим результаты:

$\frac{1}{4} \cdot b^{16} = \frac{1}{4}b^{16}$

Ответ: $\frac{1}{4}b^{16}$

2) Упростим выражение $(-4x^{-1}y^{-5})^{-3}$.

Применим свойство степени произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$ ко всем множителям в скобках:

$(-4x^{-1}y^{-5})^{-3} = (-4)^{-3} \cdot (x^{-1})^{-3} \cdot (y^{-5})^{-3}$

Упростим каждый множитель по отдельности:

$(-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{-64} = -\frac{1}{64}$

$(x^{-1})^{-3} = x^{(-1) \cdot (-3)} = x^3$

$(y^{-5})^{-3} = y^{(-5) \cdot (-3)} = y^{15}$

Перемножим полученные результаты:

$-\frac{1}{64} \cdot x^3 \cdot y^{15} = -\frac{x^3y^{15}}{64}$

Ответ: $-\frac{x^3y^{15}}{64}$

3) Упростим выражение $(-a^3)^{-7}$.

Представим выражение в скобках как произведение $(-1) \cdot a^3$ и применим свойство степени произведения:

$(-a^3)^{-7} = ((-1) \cdot a^3)^{-7} = (-1)^{-7} \cdot (a^3)^{-7}$

Упростим каждый множитель:

$(-1)^{-7} = \frac{1}{(-1)^7} = \frac{1}{-1} = -1$

$(a^3)^{-7} = a^{3 \cdot (-7)} = a^{-21}$

Результат их произведения:

$(-1) \cdot a^{-21} = -a^{-21}$

Чтобы избавиться от отрицательного показателя, запишем выражение в виде дроби:

$-a^{-21} = -\frac{1}{a^{21}}$

Ответ: $-\frac{1}{a^{21}}$

4) Упростим выражение $(0,1m^9n^{-12})^{-4}$.

Применим свойство степени произведения ко всем множителям в скобках:

$(0,1m^9n^{-12})^{-4} = (0,1)^{-4} \cdot (m^9)^{-4} \cdot (n^{-12})^{-4}$

Упростим каждый множитель. Представим десятичную дробь $0,1$ как $10^{-1}$.

$(0,1)^{-4} = (10^{-1})^{-4} = 10^{(-1) \cdot (-4)} = 10^4 = 10000$

$(m^9)^{-4} = m^{9 \cdot (-4)} = m^{-36}$

$(n^{-12})^{-4} = n^{(-12) \cdot (-4)} = n^{48}$

Перемножим полученные результаты:

$10000 \cdot m^{-36} \cdot n^{48} = 10000m^{-36}n^{48}$

Представим результат в виде дроби, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени у переменной $m$:

$10000m^{-36}n^{48} = \frac{10000n^{48}}{m^{36}}$

Ответ: $\frac{10000n^{48}}{m^{36}}$