Номер 3, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем - номер 3, страница 74.

Условие.

3. Заполните пропуск так, чтобы получилось тождество:

1) $a^{-4} \cdot \_\_\_ = a^{-10};$

2) $\_\_\_ \cdot a = a^{-14};$

3) $a^{-3} \cdot \_\_\_ \cdot a^{-5} = a^{11}.$

Решение.

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней их показатели складываются.

1) Дано тождество: $a^{-4} \cdot \underline{\hspace{1cm}} = a^{-10}$.

Обозначим неизвестный множитель как $a^x$. Тогда тождество примет вид: $a^{-4} \cdot a^x = a^{-10}$.

Применяя свойство умножения степеней, получаем: $a^{-4+x} = a^{-10}$.

Так как основания степеней равны, то должны быть равны и их показатели:

$-4 + x = -10$

$x = -10 + 4$

$x = -6$

Следовательно, в пропуск нужно вписать $a^{-6}$.

Проверка: $a^{-4} \cdot a^{-6} = a^{-4 + (-6)} = a^{-10}$.

Ответ: $a^{-6}$

2) Дано тождество: $\underline{\hspace{1cm}} \cdot a = a^{-14}$.

Учтем, что $a$ можно представить как $a^1$. Обозначим неизвестный множитель как $a^x$. Тогда тождество примет вид: $a^x \cdot a^1 = a^{-14}$.

Применяя свойство умножения степеней, получаем: $a^{x+1} = a^{-14}$.

Приравниваем показатели степеней:

$x + 1 = -14$

$x = -14 - 1$

$x = -15$

Следовательно, в пропуск нужно вписать $a^{-15}$.

Проверка: $a^{-15} \cdot a^1 = a^{-15+1} = a^{-14}$.

Ответ: $a^{-15}$

3) Дано тождество: $a^{-3} \cdot \underline{\hspace{1cm}} \cdot a^{-5} = a^{11}$.

Обозначим неизвестный множитель как $a^x$. Тогда тождество примет вид: $a^{-3} \cdot a^x \cdot a^{-5} = a^{11}$.

Применяя свойство умножения степеней для трех множителей, получаем: $a^{-3+x+(-5)} = a^{11}$.

Упростим показатель степени в левой части: $a^{x-8} = a^{11}$.

Приравниваем показатели степеней:

$x - 8 = 11$

$x = 11 + 8$

$x = 19$

Следовательно, в пропуск нужно вписать $a^{19}$.

Проверка: $a^{-3} \cdot a^{19} \cdot a^{-5} = a^{-3+19-5} = a^{16-5} = a^{11}$.

Ответ: $a^{19}$