Номер 14, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем - номер 14, страница 72.

Условие.

14. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ab^{-2} - a^{-2}b = \frac{a}{b^2} - \frac{}{} = $

2) $(b^{-1} + c^{-1}) \cdot (b^2 - c^2)^{-1} = $

3) $x^3y^3(x^{-4} + y^{-4}) = $

4) $(m+n)^{-1} \cdot (m^{-2} - n^{-2}) = $

5) $(a^{-3} - 8) \cdot (a^{-1} - 2)^{-2} = \left(\frac{1}{a^3} - 8\right) \cdot \left(\frac{1}{a} - 2\right)^{-2} = \frac{}{a^3} \cdot \left(\frac{}{a}\right)^{-2} = $

Решение.

1) $ab^{-2} - a^{-2}b$
Представим каждый член выражения в виде дроби, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$ab^{-2} = a \cdot \frac{1}{b^2} = \frac{a}{b^2}$
$a^{-2}b = \frac{1}{a^2} \cdot b = \frac{b}{a^2}$
Получаем разность дробей:
$\frac{a}{b^2} - \frac{b}{a^2}$
Приводим дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{a \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} - \frac{b \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} = \frac{a^3}{a^2b^2} - \frac{b^3}{a^2b^2} = \frac{a^3 - b^3}{a^2b^2}$
Ответ: $\frac{a^3 - b^3}{a^2b^2}$

2) $(b^{-1} + c^{-1}) \cdot (b^2 - c^2)^{-1}$
Преобразуем каждый множитель отдельно:
$b^{-1} + c^{-1} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{c}{bc} + \frac{b}{bc} = \frac{b+c}{bc}$
$(b^2 - c^2)^{-1} = \frac{1}{b^2 - c^2}$
Теперь перемножим полученные дроби:
$\frac{b+c}{bc} \cdot \frac{1}{b^2 - c^2}$
Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\frac{b+c}{bc} \cdot \frac{1}{(b-c)(b+c)}$
Сократим общий множитель $(b+c)$:
$\frac{1}{bc(b-c)}$
Ответ: $\frac{1}{bc(b-c)}$

3) $x^3y^3(x^{-4} + y^{-4})$
Сначала преобразуем выражение в скобках:
$x^{-4} + y^{-4} = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{y^4}$
Приведем к общему знаменателю $x^4y^4$:
$\frac{y^4}{x^4y^4} + \frac{x^4}{x^4y^4} = \frac{x^4+y^4}{x^4y^4}$
Теперь умножим на $x^3y^3$:
$x^3y^3 \cdot \frac{x^4+y^4}{x^4y^4} = \frac{x^3y^3(x^4+y^4)}{x^4y^4}$
Сократим дробь на $x^3y^3$:
$\frac{x^4+y^4}{xy}$
Ответ: $\frac{x^4+y^4}{xy}$

4) $(m + n)^{-1} \cdot (m^{-2} - n^{-2})$
Преобразуем каждый множитель отдельно:
$(m + n)^{-1} = \frac{1}{m+n}$
$m^{-2} - n^{-2} = \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - m^2}{m^2n^2}$
Перемножим полученные выражения:
$\frac{1}{m+n} \cdot \frac{n^2 - m^2}{m^2n^2}$
Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$.
$\frac{1}{m+n} \cdot \frac{(n-m)(n+m)}{m^2n^2}$
Сократим общий множитель $(m+n)$:
$\frac{n-m}{m^2n^2}$
Ответ: $\frac{n-m}{m^2n^2}$

5) $(a^{-3} - 8) \cdot (a^{-1} - 2)^{-2}$
Преобразуем выражения в скобках:
$a^{-3} - 8 = \frac{1}{a^3} - 8 = \frac{1 - 8a^3}{a^3}$
$a^{-1} - 2 = \frac{1}{a} - 2 = \frac{1 - 2a}{a}$
Подставим преобразованные выражения в исходное:
$\frac{1 - 8a^3}{a^3} \cdot (\frac{1 - 2a}{a})^{-2}$
Применим свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$ ко второму множителю:
$\frac{1 - 8a^3}{a^3} \cdot (\frac{a}{1 - 2a})^2 = \frac{1 - 8a^3}{a^3} \cdot \frac{a^2}{(1-2a)^2}$
Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$1 - 8a^3 = 1^3 - (2a)^3 = (1-2a)(1+2a+4a^2)$
Подставим разложение в наше выражение:
$\frac{(1-2a)(1+2a+4a^2)}{a^3} \cdot \frac{a^2}{(1-2a)^2}$
Сократим общие множители $a^2$ и $(1-2a)$:
$\frac{1+2a+4a^2}{a(1-2a)}$
Ответ: $\frac{1+2a+4a^2}{a(1-2a)}$